Determine a região de convergência das seguintes séries de potências:
sumn=1^infty (x-1)^n(n+2)!

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos a série de potências centrada em 1
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{(n+2)!}
$$
Queremos descobrir para quais valores de sumn=1^infty (x-1)^n(n+2)! essa série converge. O conteúdo aqui é séries de potências e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Aplicar o teste da razão: chamamos
an = (x-1)^n(n+2)!
e calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|(x-1)^n+1/(n+3)!(x-1)^n/(n+2)!| = limntoinfty|x-1|n+3

Passo 3

Determinar o limite e concluir: como
limntoinfty|x-1|n+3=0
e 0<1 para todo x, o teste da razão diz que a série converge para qualquer x real.

Resposta

A região de convergência é -infty,infty.

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