Calcule os limites.
lim x infty x^2 3^-x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite lim x infty x^2 3^-x. Isso envolve entender como funções polinomiais ( x^2) e exponenciais ( 3^-x) se comportam quando x vai para o infinito. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de limites envolvendo o crescimento de diferentes tipos de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização:
x^2 cdot 3^-x = x^23^x
Isso nos mostra que temos uma fração onde o numerador é uma função polinomial ( x^2) e o denominador é uma função exponencial ( 3^x).

Passo 3

Agora, vamos analisar como cada parte da fração se comporta quando x tende ao infinito:
  • Função Polinomial ( x^2): Cresce rapidamente, mas seu crescimento é relativamente lento comparado a funções exponenciais.
  • Função Exponencial ( 3^x): Cresce muito mais rápido do que qualquer função polinomial à medida que x aumenta.

Passo 4

Sabendo disso, podemos concluir que, à medida que x fica muito grande, o denominador ( 3^x) vai crescer muito mais rápido que o numerador ( x^2). Isso faz com que a fração inteira diminua cada vez mais.

Passo 5

Matematicamente, isso significa que:
lim x infty x^23^x = 0
Porque o denominador cresce tão rápido que a fração toda tende a zero.

Resposta

O limite é igual a zero.
lim x infty x^2 cdot 3^-x = 0

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