Calcule os limites
lim x -infty x(14)^x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto -infty xl(tfrac14r)^x
O conteúdo principal aqui é limite envolvendo função exponencial. Para resolver, vamos reescrever l(tfrac14r)^x em termos de e^xln(tfrac14) e comparar o crescimento exponencial com o termo linear x.

Passo 2

Reescrevendo a potência em base e, temos
l(tfrac14r)^x = e^,xln!l(tfrac14r) e como ln!l(tfrac14r) = -ln(4),
segue que
xl(tfrac14r)^x = x,e^,x(-ln4) = x,e^-xln4

Passo 3

Agora analisamos o expoente quando xto -infty:
-xln4 = (-x)ln4 longrightarrow +infty,
pois -xto+infty e ln4>0. Logo
e^-xln4longrightarrow +infty

Passo 4

Portanto o produto
x,e^-xln4 ;=; (-|x|);e^,|x|ln4
é o produto de um fator que tende a -infty (pois xto-infty implica -|x|to-infty) por um fator exponencial que tende a +infty. E sabemos que a taxa de crescimento exponencial domina qualquer crescimento polinomial. Assim o produto diverge para -infty.

Resposta

limxto -infty xl(tfrac14r)^x = -infty

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