Calcule os limites
lim x +infty x ln (1-1x)

Passo 1

O enunciado pede
limxto+infty xlnl(1-tfrac1xr).
\u00c9 um tipo de indetermina\u00e7\u00e3o inftycdot0, pois quando xto+infty temos xtoinfty e
lnl(1-tfrac1xr)toln(1)=0.
Para resolver, vamos reescrever como quociente e aplicar a regra de L’H^opital.

Passo 2

Reescrevendo em forma de quociente, com t=tfrac1xto0^+,
limxto+infty xlnl(1-tfrac1xr) =limxto+inftyln(1-tfrac1x)tfrac1x =limtto0^+ln(1-t)t,
que \u00e9 uma forma 0/0. Logo, podemos usar L’H^opital.

Passo 3

Aplicando L’H^opital, derivamos numerador e denominador em rela\u00e7\u00e3o a x:
ddxln!l(1-tfrac1xr) =11-tfrac1xcdotddxl(1-tfrac1xr) =11-tfrac1xcdot1x^2 =1x^2l(1-tfrac1xr),
ddxl(tfrac1xr) =-1x^2
Portanto, pelo L’H^opital,
limxto+inftyln(1-tfrac1x)tfrac1x =limxto+infty tfrac1x^2l(1-tfrac1xr)-tfrac1x^2 =limxto+inftyl(-tfrac1,1-tfrac1x,r) =-1

Passo 4

Da reescrita ao original, concluímos que
limxto+infty xlnl(1-tfrac1xr)=-1.

Resposta

-1

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