Calcule a derivada f^prime(x) da função f(x)=(x^2-x) cdot raiz2 x+1 para x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(2) onde
f(x) = l(x^2-xr),raiz2x+1
Aqui vamos usar a regra do produto para derivar um produto de funções e a regra da cadeia para derivar a raiz.

Passo 2

Seja
u(x) = x^2-x, v(x) = raiz2x+1 = (2x+1)^tfrac12
Então, pela regra do produto,
f'(x) = u'(x),v(x) + u(x),v'(x)
Derivando cada parte:
u'(x) = 2x - 1, v'(x) = 12,(2x+1)^-tfrac12cdot 2 = (2x+1)^-tfrac12 = 1raiz2x+1

Passo 3

Substituindo em f'(x), obtemos
f'(x) = (2x-1),raiz2x+1 + (x^2-x),1raiz2x+1 = (2x-1)raiz2x+1 + x^2-xraiz2x+1

Passo 4

Agora avaliamos em x=2:
2x-1|x=2 = 3, raiz2x+1|x=2 = raiz5, x^2-x|x=2 = 4-2 = 2
Logo,
f'(2) = 3raiz5 + 2raiz5

Passo 5

Unificando numa só fração e racionalizando,
f'(2) = 3raiz5,raiz5 + 2raiz5 = 15 + 2raiz5 = 17raiz5 = 17raiz55

Resposta

f'(2) = 17raiz55

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