Calcule os limites:
(a) lim x infty e^-x^2(x+sin (x))

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty e^-x^2(x+sin (x)). Aqui, estamos trabalhando com limites, funções exponenciais e funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada parte da expressão se comporta quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente:
  1. e^-x^2: Essa é uma função exponencial com base e e expoente -x^2.
  2. x + sin(x): Essa é uma soma de uma função linear x e uma função trigonométrica sin(x).

Passo 3

Vamos observar o comportamento de e^-x^2 quando x tende ao infinito:
limx to infty e^-x^2 = limx to infty 1e^x^2 = 0
Isso acontece porque e^x^2 cresce extremamente rápido à medida que x aumenta, fazendo com que 1/e^x^2 se aproxime de 0.

Passo 4

Agora, vamos analisar x + sin(x) quando x tende ao infinito:
limx to infty (x + sin(x)) = limx to infty x + limx to infty sin(x)
Sabemos que limx to infty x = infty e sin(x) oscila entre -1 e 1, então:
limx to infty (x + sin(x)) = infty

Passo 5

Agora, vamos combinar os comportamentos que analisamos:
lim x infty e^-x^2(x+sin (x)) = lim x infty e^-x^2 cdot lim x infty (x+sin (x)) = 0 cdot infty
Essa forma é indeterminada, mas sabemos que e^-x^2 tende a 0 muito mais rapidamente do que x tende a infinito. Portanto, o produto dessas duas funções tende a 0.

Resposta

lim x infty e^-x^2(x+sin (x)) = 0

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