Quais das sequências (an) abaixo convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
b) an=-10 n^5-7 n^2+n+56 n^6+3 n^4+5 n^2+3

Passo 1

Estamos com a sequência definida por an = -10n^5 - 7n^2 + n + 56n^6 + 3n^4 + 5n^2 + 3. O conteúdo é limite de sequências, em particular quocientes de polinômios em n. Vamos usar a comparação de graus e divisão pelo maior termo para decidir convergência e obter o limite.

Passo 2

O grau do polinômio do numerador é 5 e o do denominador é 6. Quando o grau do denominador é maior, geralmente o limite da sequência é zero, já que o denominador cresce mais rápido do que o numerador.
Para tornar isso rigoroso, dividimos numerador e denominador por n^6, o maior grau presente:
an = -10n^5 - 7n^2 + n + 56n^6 + 3n^4 + 5n^2 + 3 = -10/n - 7/n^4 + 1/n^5 + 5/n^66 + 3/n^2 + 5/n^4 + 3/n^6

Passo 3

Agora, ao fazermos n to infty, todos os termos com 1/n^k vão a zero. Assim o numerador tende a zero e o denominador tende a 6, de modo que an to 0/6 = 0.

Resposta

A sequência converge e limntoinftyan = 0.

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