Calcule as seguintes integrais que envolvem potências de funções trigonométricas:
integral sen^3(y) cos ^4(y) d y

Passo 1

No enunciado, queremos calcular integralsin^3(y),cos^4(y),dy. O conteúdo aqui é integração de potências de funções trigonométricas e vamos precisar usar redução de potência junto com substituição.

Passo 2

Perceba que o expoente de sin(y) é ímpar. Então separamos um fator sin(y) e usamos a identidade sin^2(y)=1-cos^2(y). Assim, sin^3(y)=(sin^2(y))sin(y)=(1-cos^2(y))sin(y).
Reescrevendo a integral, temos:
integralsin^3(y),cos^4(y),dy=integral(1-cos^2(y)),cos^4(y),sin(y),dy
Agora isolamos sin(y),dy para substituição.

Passo 3

Fazemos a substituição u=cos(y), o que dá du=-sin(y),dy ou sin(y),dy=-du. Substituindo na integral, obtemos:
-integral(1-u^2),u^4,du=-integrall(u^4-u^6r),du
Integramos termo a termo:
-integral u^4,du+integral u^6,du=-u^55+u^77+C

Passo 4

Voltando a y com u=cos(y), chegamos à forma final da antiderivada.

Resposta

cos^7(y)7-cos^5(y)5+C

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