Calcule os limites:
lim x 0^+(ln x-1x^4)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+l(ln x - tfrac1x^4r)
Aqui o tema é comparação de termos que divergem: ln x vai a -infty e 1/x^4 vai a +infty quando xto0^+. Precisamos ver qual termo “vence” nessa disputa.

Passo 2

Analisando cada parte:
  • limxto0^+ln x=-infty.
  • limxto0^+tfrac1x^4=+infty.
    Logo ln x fica muito negativo e -1/x^4 também fica muito negativo, mas qual diverge mais rápido?

Passo 3

Para comparar a “força” de ln x e de 1/x^4, olhamos a razão
ln x1/x^4=x^4ln x
Usamos o fato clássico de que, para qualquer alpha>0,
limxto0^+x^alphaln x=0,
portanto
limxto0^+x^4ln x=0
Isso mostra que ln x é negligenciável perto de zero em comparação a 1/x^4, ou seja ln x=o(1/x^4).

Passo 4

Como ln x=o(1/x^4), temos
ln x - tfrac1x^4=-tfrac1x^4l(1 - x^4ln xr) sim -tfrac1x^4,
e como -tfrac1x^4to -infty quando xto0^+, segue que
limxto0^+l(ln x - tfrac1x^4r)=-infty

Resposta

-infty

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