Calcule os limites:
lim x 0^+(log 0,2 x-5x^2-3 x)

Passo 1

Resumindo: queremos
L=limxto0^+l(log0,2x-tfrac5x^2-3xr).
O conteúdo envolvido é mudança de base de logaritmo e comparação de infinitos. Vamos precisar usar
  1. logax=dfracln xln a.
  2. Desenvolver o termo racional para x pequeno e comparar intensidade de divergência de ln x versus 1/x.

Passo 2

Faço a mudança de base do logaritmo:
log0,2x =ln xln(0,2) =ln xln(1/5) =ln x-ln5 =-ln xln5
Como xto0^+, ln xto-infty, logo
log0,2x=-tfracln xln5to+infty.

Passo 3

Agora trate o segundo termo:
5x^2-3x =5x(x-3) =5-3x+ x^2 =-53x,11 - tfracx3 sim -53x (xto0^+),
pois tfracx3to0. Assim tfrac5x^2-3xto-infty.

Passo 4

O limite é
L =underbracel(-ln xln5r)to+infty ;-; underbracel(-53xr)to+infty ;=; 53x-ln xln5
Para xto0^+, tfrac53x diverge como 1/x, muito mais rápido que |ln x|. Logo
Lsim53xto+infty

Resposta

+infty

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