Calcule os limites:
lim x 0^+(ln x+1x cdot(1-x))

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto0^+l(ln x + 1x(1-x)r)
O conteúdo envolve limites de funções elementares divergentes e comparação de taxas de crescimento.

Passo 2

Note que, conforme xto0^+,
  • ln xto -infty,
  • 1x(1-x)to +infty.
    Logo temos a forma indeterminada -infty + infty, e precisamos reescrever a soma para comparar os termos.

Passo 3

Fazendo frações parciais em tfrac1x(1-x):
1x(1-x) = 1x + 11-x
Assim a expressão do limite fica
ln x + 1x(1-x) = ln x + 1x + 11-x

Passo 4

Ao aproximar xto0^+:
  • tfrac11-xto1 (valor finito),
  • tfrac1xto +infty,
  • ln xto -infty mas cresce muito mais devagar que tfrac1x.
    De fato,
limxto0^+ln x1/x = limxto0^+xln x = 0,
portanto tfrac1x domina ln x e
ln x + tfrac1x;longrightarrow;+infty
Somando o termo finito +tfrac11-x não muda a divergência para +infty.

Resposta

+infty

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