Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^infty ln n(x-5)^nn+1

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a série de potências
sumn=1^inftyln nn+1(x-5)^n
centrada em x0=5. O objetivo é determinar o raio de convergência R usando o teste da raiz (ou da razão) e depois examinar o comportamento da série nos extremos x=5pm R.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência R pelo teste da raiz. Em geral, para sum an(x-5)^n vale
R=1limsupntoinfty|an|^1/n
Aqui an=ln nn+1. Vamos calcular
L=limntoinftyl|tfracln n,n+1r|^1/n =expl(tfrac1nln(ln n)-tfrac1nln(n+1)r)
Como ln(ln n)/nto0 e ln(n+1)/nto0, o expoente tende a zero, logo L=e^0=1. Portanto
R=1L=1

Passo 3

A série converge para
|x-5|<1,
isto é no intervalo aberto (4,6).

Passo 4

Teste em x=6. Substituindo, a série fica
sumn=1^inftyln nn+1
Como ln nn+1simln nn e sum(ln n)/n diverge (por comparação com integral1^inftyln xx,dx), concluímos que a série diverge em x=6.

Passo 5

Teste em x=4. Substituindo, obtemos
sumn=1^infty(-1)^nln nn+1
Os termos bn=ln nn+1 satisfazem bnto0 e são decrescentes para n suficientemente grande (pois f(x)=tfracln xx decresce em x>e). Pelo teste de Leibniz, essa série alternada converge condicionalmente em x=4.

Resposta

O intervalo de convergência é
[4,6)

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