Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a série de potências
centrada em . O objetivo é determinar o raio de convergência usando o teste da raiz (ou da razão) e depois examinar o comportamento da série nos extremos .
Passo 2
Cálculo do raio de convergência pelo teste da raiz. Em geral, para vale
Aqui . Vamos calcular
Como ln(ln n)/nto0 e ln(n+1)/nto0, o expoente tende a zero, logo L=e^0=1. Portanto
R=1L=1
Passo 3
A série converge para
|x-5|<1,
isto é no intervalo aberto (4,6).
Passo 4
Teste em x=6. Substituindo, a série fica
sumn=1^inftyln nn+1
Como ln nn+1simln nn e sum(ln n)/n diverge (por comparação com integral1^inftyln xx,dx), concluímos que a série diverge em x=6.
Passo 5
Teste em x=4. Substituindo, obtemos
sumn=1^infty(-1)^nln nn+1
Os termos bn=ln nn+1 satisfazem bnto0 e são decrescentes para n suficientemente grande (pois f(x)=tfracln xx decresce em x>e). Pelo teste de Leibniz, essa série alternada converge condicionalmente em x=4.