Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=0^+infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^infty 4^n+1x^2nn+3
O conteúdo necessário inclui o teste da razão para determinar o raio de convergência e o estudo dos extremos x=pm12.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a bn=4^n+1x^2nn+3. Calculamos
L = limntoinfty|bn+1bn| = limntoinfty 4^n+2|x|^2(n+1)n+4,n+34^n+1|x|^2n = limntoinfty4|x|^2n+3n+4 =4x^2

Passo 3

Para convergência pelo teste da razão, exigimos L<1, ou seja
4x^2<1 Longrightarrow |x|<12
Logo o raio de convergência é R=tfrac12.

Passo 4

Nos extremos x=pmtfrac12 a série vira
sumn=0^infty 4^n+1(pmtfrac12)^2nn+3 = sumn=0^infty 4cdot(4^ncdottfrac14^n)n+3 = sumn=0^infty 4n+3,
que diverge pois é equivalente a uma série harmônica.

Resposta

(-tfrac12,tfrac12)

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