Nos Exercicios de 1 a 28, determine o intervalo de convergência da série de potènctas dada.
sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado dá a série de potências centrada em x0=-5
sumn=1^infty(x+5)^n-1n^2
e pede o intervalo de convergência. Vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência e depois examinar o comportamento nos extremos.

Passo 2

Definimos o termo geral
an=(x+5)^n-1n^2
Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|(x+5)^n/(n+1)^2(x+5)^n-1/n^2| =limntoinftyl|x+5r|n^2(n+1)^2 =l|x+5r|
Para convergência, é necessário que
l|x+5r|<1

Passo 3

Da condição l|x+5r|<1 obtemos o raio de convergência
R=1
e o intervalo aberto de convergência
-6<x<-4

Passo 4

Agora testamos os extremos:
  1. Em x=-4, temos ,x+5=1 e a série vira
sumn=1^infty1^,n-1n^2 =sumn=1^infty1n^2,
que converge (série p-com p=2>1).
  1. Em x=-6, temos ,x+5=-1 e a série fica
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^2,
que também converge absolutamente (novamente comparável a sum1/n^2).
Portanto, ambos os extremos pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência da série é
boxed[-6,,-4]

Exercícios relacionados