( 3,0 ) Uma partícula em uma mola vibrante move-se verticalmente, de modo que sua distância s(t) de um ponto fixo na reta de vibração é dada por s(t)=4+125 sen 100 pi t, onde
s(t) é em centímetros e t é em segundos.
(a) Qual o tempo necessário para a partícula completar uma vibração?
(b) Determine a velocidade da partícula em t=1.

Passo 1

O enunciado dá a Lei do Movimento
s(t) = 4 + tfrac125,sinl(100pi tr),
onde s(t) está em centímetros e t em segundos. Trata-se de um movimento harmônico simples com amplitude A=tfrac125 cm e pulsação omega=100pi rad/s. Precisamos de:
  1. O período de vibração T.
  2. A velocidade v(t)=s'(t) no instante t=1.

Passo 2

Em um movimento harmônico simples temos
omega = 100pi
e o período satisfaz
T = 2piomega = 2pi100pi = 150,
Logo, a partícula completa uma vibração em tfrac150 s (ou 0,02 s).

Passo 3

A velocidade é a derivada de s(t):
v(t) = s'(t) = ddtl[4 + tfrac125sin(100pi t)r] = tfrac125,cos(100pi t)cdot (100pi) = 4picos(100pi t)
Em t=1, temos
v(1) = 4picos(100picdot1) = 4picos(100pi)
Como 100 é par, cos(100pi)=1. Portanto
v(1) = 4pi(cm/s)

Resposta

(a) T = tfrac150 s.
(b) v(1) = 4pi cm/s.

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