Calcule os limites: lim x longrightarrow-2 raiz[3]2-3 x-21+raiz[3]2 x+3

Passo 1

Temos o limite limxto -2 raiz[3]2-3x-21+raiz[3]2x+3. O conteúdo é cálculo de limites que levam a uma forma indeterminada 0/0, envolvendo radicais de índice 3. Para resolver, vamos usar a fatoração de soma e diferença de cubos e transformar o numerador e denominador em fatores que contenham x+2.

Passo 2

Ao substituir diretamente x=-2 vemos que 2-3(-2)=8, logo raiz[3]8=2, e 2(-2)+3=-1, logo raiz[3]-1=-1. Isso faz o numerador 2-2=0 e o denominador 1+(-1)=0, confirmando a indeterminação 0/0. Definimos então a=raiz[3]2-3x e b=raiz[3]2x+3, de modo que o numerador vira a-2 e o denominador vira 1+b, com ato2 e bto-1.

Passo 3

Usamos agora as fórmulas de fatoração de cubos: a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4) e b^3+1^3=(b+1)(b^2-b+1). Como a^3=2-3x e b^3=2x+3, temos
a^3-8=2-3x-8=-3(x+2),
b^3+1=2x+3+1=2(x+2)

Passo 4

Desses resultados isolamos:
a-2=-3(x+2)a^2+2a+4,
b+1=2(x+2)b^2-b+1
Substituindo no limite original:
a-21+b =-3(x+2)a^2+2a+42(x+2)b^2-b+1,
e o fator (x+2) se cancela.

Passo 5

Basta então avaliar o limite remanescente fazendo xto-2, ou seja ato2 e bto-1. Assim a^2+2a+4to12 e b^2-b+1to3. Logo o quociente vale:
-312cdot32=-38

Resposta

-\frac{3}{8}

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