(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
(b) ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se 0

Passo 1

Estamos resolvendo o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio R, com condição de contorno u(R,θ)= sin2θ. Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em θ.

Passo 2

Como a condição de contorno é f(θ)=sin2θ, expandimos f(θ) em série de Fourier: só há termo de sen de ordem 2, ou seja, b2=1 e todos os outros coeficientes an, bn=0 para nneq2.

Passo 3

A solução geral regular em r=0 para Laplace em coordenadas polares é
nu(r,θ)=a0+sumn=1^inftyl(An r^ncos(nθ)+Bn r^nsin(nθ)r).

Passo 4

Impondo ν(R,θ)=sin2θ obtemos
a0+sumn=1^inftyl(An R^ncos(nθ)+Bn R^nsin(nθ)r)=sin2θ
Comparando termo a termo: a0=0, An=0 para todo n, e para n=2 temos B2 R^2=1 logo B2=1/R^2.

Passo 5

Substituindo de volta na solução geral, ficamos com
$$\nu(r,θ)=B_2 r2\sin2θ=\frac{r2}{R^2}\sin2θ.
$$

Resposta

u(r,θ)=\frac{r2}{R2},\sin2θ

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