(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
(b)
(b)
Passo 1
Estamos resolvendo o problema de Dirichlet para a equação de Laplace em coordenadas polares no disco de raio R, com condição de contorno u(R,θ)=
. Vamos usar separação de variáveis e série de Fourier em θ.
Passo 2
Como a condição de contorno é
, expandimos
em série de Fourier: só há termo de sen de ordem 2, ou seja,
e todos os outros coeficientes
para
.
Passo 3
A solução geral regular em
para Laplace em coordenadas polares é
Passo 4
Impondo
obtemos
Comparando termo a termo:
,
para todo
, e para
temos
logo
.
Passo 5
Substituindo de volta na solução geral, ficamos com
$$\nu(r,θ)=B_2 r2\sin2θ=\frac{r2}{R^2}\sin2θ.
$$
Resposta
u(r,θ)=\frac{r2}{R2},\sin2θ