(Problema de Neumann para a Equação de Laplace no Retângulo) Use o método de separação de variáveis para resolver o problema de Neumann no retângulo
ux x+uy y=0 & se 0
assumindo a condição
integral0^b f(y) d y=0
Porque esta condição é necessária para existir uma solução para o problema de Neumann?
Note que a solução que você obteve não é única, pois somando uma constante arbitrária a uma solução do problema de Neumann ela ainda é uma solução para o problema.

Passo 1

O problema é o de Neumann para a equação de Laplace num retângulo, com condições de derivada normal dadas em todas as fronteiras. Vamos usar separação de variáveis para encontrar uma solução em séries hiperbólicas e trigonométricas e depois discutir a condição de compatibilidade.

Passo 2

Propondo u(x,y)=X(x)Y(y), inserimos na equação u_{xx}+u_{yy}=0 e dividimos por X Y, obtendo
X''(x)X(x)+Y''(y)Y(y)=0
Como um termo depende só de x e o outro só de y, ambos devem ser constantes opostas: X’’/X=λ e Y’’/Y=-λ.

Passo 3

Para Y(y) temos o problema de Sturm–Liouville
Y''(y)+λY(y)=0,
com Y’(0)=Y’(b)=0. Isso gera os autovalores
λn=l(tfracnπbr)^2,
e as autofunções
Yn(y)=cosl(tfracnπbyr), n=0,1,2,dots .

Passo 4

Para o modo n=0 (λ_0=0) a equação para X é X’’=0, cuja solução geral é X_0(x)=C_0+D_0x. Da condição X_0’(0)=0 vem D_0=0, logo X_0=C_0 (constante). Esse modo gera u_0=C_0. Na fronteira x=a temos u_{0x}(a,y)=0, então esse modo não contribui para f(y). Para que não haja contradição é preciso que o termo constante da série de f(y) seja zero, i.e.
F0=1bintegral0^b f(y),dy=0
É a condição de compatibilidade.

Passo 5

Para n\ge1 (λ_n>0) a equação para X_n é
Xn''(x)-l(tfracnπbr)^2Xn(x)=0
A solução geral é combinação de cosseno hiperbólico e seno hiperbólico. Da condição X_n’(0)=0 elimina o seno hiperbólico, deixando
Xn(x)=Ancoshl(tfracnπbxr)

Passo 6

Na fronteira x=a, a condição u_x(a,y)=f(y) vira
sumn=1^infty An,tfracnπbsinhl(tfracnπbar)cosl(tfracnπbyr)=f(y)
Expandindo f(y) em série de cossenos:
f(y)=sumn=1^infty Fncosl(tfracnπbyr), Fn=2bintegral0^b f(y)cosl(tfracnπbyr)dy,
comparamos coeficientes para achar
An=bnπFnsinhl(tfracnπbar)

Passo 7

Juntando todos os modos, a solução geral é
u(x,y)=C0+sumn=1^infty b,Fnnπsinhl(tfracnπbar)coshl(tfracnπbxr)cosl(tfracnπbyr)
O termo C_0 é arbitrário, mostrando a não unicidade: podemos somar uma constante sem violar as condições de Neumann.

Passo 8

A condição integral0^b f(y)dy=0 apareceu ao exigir que o modo constante (n=0) não conflitasse com a condição em x=a. Fisicamente e matematicamente, é a condição de compatibilidade obtida integrando-se Δu=0 sobre a região e aplicando o teorema da divergência, que exige que o fluxo total na fronteira seja zero.

Resposta

A solução do problema é
u(x,y)=C0+sumn=1^infty b,Fnnπsinhl(tfracnπbar)coshl(tfracnπbxr)cosl(tfracnπbyr),
onde
Fn=2bintegral0^b f(y)cosl(tfracnπbyr)dy,
C_0 é uma constante arbitrária (não unicidade), e a condição
integral0^b f(y),dy=0
é necessária para a compatibilidade do modo constante (equivalente ao fluxo total nulo, obtido pelo teorema da divergência).

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