(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
(a)
(a)
Passo 1
Neste problema, queremos achar a função u(r,θ) que satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares
com condição de contorno
Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier.
Passo 2
Pelo método de separação de variáveis, supomos uma solução da forma
Cada termo dessa série satisfaz separadamente a equação de Laplace.
Passo 3
Como queremos u finita em r=0, descartamos os termos em r^{-n}. Assim a forma geral fica
Passo 4
Impondo a condição de contorno u(R,θ)=cos(2θ), escrevemos
Da igualdade de séries de Fourier segue que a_0=0, A_2R^2=1 e todos os outros A_n,B_n=0.
Passo 5
Substituindo A_2=1/R^2 e os demais coeficientes zero na solução geral, obtemos
Resposta
u(r,θ) =