(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Disco) Resolva os seguintes problemas:
(a) ur r+1r ur+1r^2 utheta theta=0 & se 0

Passo 1

Neste problema, queremos achar a função u(r,θ) que satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares
urr + 1rur + 1r^2uthetatheta = 0, 0
com condição de contorno
u(R,theta)=cos(2theta)
Vamos usar separação de variáveis e expansão em séries de Fourier.

Passo 2

Pelo método de separação de variáveis, supomos uma solução da forma
u(r,theta)=a0+sumn=1^inftyl(An r^ncos(ntheta)+Bn r^nsin(ntheta)+Cn r^-ncos(ntheta)+Dn r^-nsin(ntheta)r)
Cada termo dessa série satisfaz separadamente a equação de Laplace.

Passo 3

Como queremos u finita em r=0, descartamos os termos em r^{-n}. Assim a forma geral fica
u(r,theta)=a0+sumn=1^infty r^nl(Ancos(ntheta)+Bnsin(ntheta)r)

Passo 4

Impondo a condição de contorno u(R,θ)=cos(2θ), escrevemos
u(R,theta)=a0+sumn=1^infty R^nl(Ancos(ntheta)+Bnsin(ntheta)r)=cos(2theta)
Da igualdade de séries de Fourier segue que a_0=0, A_2R^2=1 e todos os outros A_n,B_n=0.

Passo 5

Substituindo A_2=1/R^2 e os demais coeficientes zero na solução geral, obtemos
u(r,theta)=r^2R^2cos(2theta)

Resposta

u(r,θ) = r^2R^2cos(2theta)

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