Determine a série de Taylor da função
em torno de
:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de Taylor. Não se preocupe se alguns desses termos parecerem complicados no começo, vou explicar tudo passo a passo.
Passo 2
Primeiro, o que é uma série de Taylor? Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função por uma soma infinita de termos polinomiais. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ x_0 $ é:
Aqui, $ f^{(n)}(x_0) $ representa a $ n $-ésima derivada da função avaliada em $ x_0 $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \cos(x) $. A função $ \cos(x) $ tem derivadas que se repetem a cada quatro passos:
E assim por diante, repetindo esse ciclo.
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $:
Perceba que as derivadas também seguem um ciclo de quatro.
Passo 5
Agora, vamos montar os termos da série de Taylor usando a fórmula que mencionamos. Cada termo da série será:
Com base nas derivadas que calculamos, podemos ver que os coeficientes vão alternar de acordo com o ciclo das derivadas.
Passo 6
Vamos escrever a série completa substituindo os valores que encontramos:
E de forma geral, a série de Taylor pode ser expressa como:
Resposta
A série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x_0 = \frac{\pi}{4} $ é:
Ou, de forma geral: