Determine a série de Taylor da função f(x) em torno de x0:
f(x)=cos x, x0=pi4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x_0 = \frac{\pi}{4} $. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de Taylor. Não se preocupe se alguns desses termos parecerem complicados no começo, vou explicar tudo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, o que é uma série de Taylor? Basicamente, é uma maneira de aproximar uma função por uma soma infinita de termos polinomiais. A fórmula geral da série de Taylor para uma função $ f(x) $ em torno de um ponto $ x_0 $ é:
f(x)
Aqui, $ f^{(n)}(x_0) $ representa a $ n $-ésima derivada da função avaliada em $ x_0 $, e $ n! $ é o fatorial de $ n $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de $ f(x) = \cos(x) $. A função $ \cos(x) $ tem derivadas que se repetem a cada quatro passos:
f(x) = cos(x)
E assim por diante, repetindo esse ciclo.

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas no ponto $ x_0 = \frac{\pi}{4} $:
x0 = pi4
Perceba que as derivadas também seguem um ciclo de quatro.

Passo 5

Agora, vamos montar os termos da série de Taylor usando a fórmula que mencionamos. Cada termo da série será:
f^(n)(pi4)n! (x - pi4)^n
Com base nas derivadas que calculamos, podemos ver que os coeficientes vão alternar de acordo com o ciclo das derivadas.

Passo 6

Vamos escrever a série completa substituindo os valores que encontramos:
cos(x) = raiz22 - raiz22 (x - pi4) - raiz24 (x - pi4)^2 + raiz212 (x - pi4)^3 + cdots
E de forma geral, a série de Taylor pode ser expressa como:
cos(x) = sumn=0^infty f^(n)(pi4)n! (x - pi4)^n

Resposta

A série de Taylor da função $ f(x) = \cos(x) $ em torno de $ x_0 = \frac{\pi}{4} $ é:
f(x) = cos(x)
Ou, de forma geral:
x0 = pi4

Exercícios relacionados