Considerando
, assinale as opções que são satisfeitas em relação as propriedades topológicas satisfeitas pelo seu domínio.
Escolha uma ou mais:a. Não-abertob. Fechadoc. Não-fechado!d. Compactoe. Limitadof. Aberto
Escolha uma ou mais:a. Não-abertob. Fechadoc. Não-fechado!d. Compactoe. Limitadof. Aberto
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a expressão
e precisamos descobrir quais das opções dadas correspondem às propriedades topológicas do domínio dessa expressão. Isso envolve entender onde a expressão está bem definida (domínio) e analisar características como se é aberto, fechado, compacto ou limitado.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da expressão. Pra fração estar definida, o denominador
não pode ser zero e dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero. Então:
-
(porque não pode ser zero nem negativo dentro da raiz quadrada). - Além disso, o argumento do logaritmo
tem que ser maior que zero:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos juntar essas duas condições para definir o domínio:
Isso define uma região no plano
Passo 4
Vamos analisar as propriedades topológicas:
- Aberto: Um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, dá pra achar um espacinho pequeno ao redor desse ponto que ainda tá dentro do conjunto. No nosso caso, as desigualdades são estritas (
), então o domínio não inclui a fronteira, o que sugere que o conjunto é aberto. - Fechado: Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Como nosso domínio não inclui a fronteira (devido às desigualdades estritas), ele não é fechado.
- Limitado: Um conjunto é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. No nosso caso, o domínio se estende infinitamente em algumas direções, então não é limitado.
- Compacto: Um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado. Já vimos que o domínio não é fechado nem limitado, então não é compacto.
Resposta
As opções que são satisfeitas pelo domínio são:
f. Aberto
f. Aberto