Considerando ln (x-y^2+1)raizy-x^2, assinale as opções que são satisfeitas em relação as propriedades topológicas satisfeitas pelo seu domínio.
Escolha uma ou mais:a. Não-abertob. Fechadoc. Não-fechado!d. Compactoe. Limitadof. Aberto

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem a expressão ln (x - y^2 + 1)raizy - x^2 e precisamos descobrir quais das opções dadas correspondem às propriedades topológicas do domínio dessa expressão. Isso envolve entender onde a expressão está bem definida (domínio) e analisar características como se é aberto, fechado, compacto ou limitado.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da expressão. Pra fração estar definida, o denominador raizy - x^2 não pode ser zero e dentro da raiz tem que ser maior ou igual a zero. Então:
  1. y - x^2 > 0 (porque não pode ser zero nem negativo dentro da raiz quadrada).
  2. Além disso, o argumento do logaritmo ln(x - y^2 + 1) tem que ser maior que zero: x - y^2 + 1 > 0
    Simplificando:
    x > y^2 - 1

Passo 3

Agora, vamos juntar essas duas condições para definir o domínio:
y - x^2 > 0 e x > y^2 - 1
Isso define uma região no plano xy onde as duas desigualdades são verdadeiras. Visualmente, isso forma uma área específica que vamos precisar analisar para suas propriedades topológicas.

Passo 4

Vamos analisar as propriedades topológicas:
  • Aberto: Um conjunto é aberto se, para todo ponto nele, dá pra achar um espacinho pequeno ao redor desse ponto que ainda tá dentro do conjunto. No nosso caso, as desigualdades são estritas ( >), então o domínio não inclui a fronteira, o que sugere que o conjunto é aberto.
  • Fechado: Um conjunto é fechado se ele contém todos os seus pontos de fronteira. Como nosso domínio não inclui a fronteira (devido às desigualdades estritas), ele não é fechado.
  • Limitado: Um conjunto é limitado se ele está contido dentro de algum círculo de raio finito. No nosso caso, o domínio se estende infinitamente em algumas direções, então não é limitado.
  • Compacto: Um conjunto é compacto se ele é fechado e limitado. Já vimos que o domínio não é fechado nem limitado, então não é compacto.

Resposta

As opções que são satisfeitas pelo domínio são:
f. Aberto

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