Calcule os limites: lim x longrightarrow-a a^2-x^2a^3+x^3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto -aa^2 - x^2a^3 + x^3. O conteúdo aqui é limites de funções racionais e precisamos usar fatoração de polinômios para remover a indeterminação do tipo 0/0.

Passo 2

Verificamos primeiro a forma direta ao substituir x = -a:
a^2 - (-a)^2a^3 + (-a)^3 = a^2 - a^2a^3 - a^3 = 00
Isso mostra que temos indeterminação, então vamos manipular algebricamente.

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador usando diferença de quadrados e soma de cubos:
a^2 - x^2 = (a - x)(a + x)
a^3 + x^3 = (a + x)(a^2 - a x + x^2)
Assim a expressão fica:
a^2 - x^2a^3 + x^3 = (a - x)(a + x)(a + x)(a^2 - a x + x^2)

Passo 4

Cancelamos o fator comum a + x (válido para xneq -a):
(a - x)cancel(a + x)cancel(a + x)(a^2 - a x + x^2) = a - xa^2 - a x + x^2

Passo 5

Agora eliminamos a indeterminação e podemos aplicar o limite direto substituindo x = -a:
limxto -aa - xa^2 - a x + x^2 = a - (-a)a^2 - a(-a) + (-a)^2 = 2aa^2 + a^2 + a^2 = 2a3a^2 = 23a

Resposta

tfrac23a

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