Encontre uma fórmula para o
-ésimo termo da sequência.
Passo 1
O enunciado pede para achar uma fórmula fechada para o termo geral de uma sequência periódica: {1,0,–1,0,1,0,–1,0,…}. Vamos usar trigonometria para capturar essa oscilação.
Passo 2
Observe que a sequência se repete a cada 4 termos, com os valores 1,0,–1,0. Esse padrão é típico da função seno avaliada em múltiplos de π/2, pois
sin(π/2)=1, sin(π)=0, sin(3π/2)=–1, sin(2π)=0, e então volta a repetir.
sin(π/2)=1, sin(π)=0, sin(3π/2)=–1, sin(2π)=0, e então volta a repetir.
Passo 3
Logo, podemos mapear n→n·(π/2) dentro do seno para obter exatamente essa repetição.
Portanto, a fórmula para o n-ésimo termo é:
Portanto, a fórmula para o n-ésimo termo é: