Usar as integrais duplas para calcular a área de um círculo de raio
. O mesmo para uma elipse de eixos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um círculo e de uma elipse usando integrais duplas. O conteúdo aqui é de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas que nos ajudam a encontrar áreas em coordenadas bidimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para cada forma geométrica e usar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área de um círculo de raio
usando integrais duplas. Um círculo centrado na origem pode ser descrito pela equação
. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. Em coordenadas polares, a área é dada por:
Aqui,
é o raio variável que vai de 0 até
, e
varia de 0 a
para cobrir todo o círculo.
Passo 3
Vamos resolver a integral para o círculo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Então, a área do círculo é
.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de uma elipse com eixos
e
. A equação da elipse centrada na origem é
. Para essa forma, vamos usar coordenadas elípticas, que generalizam as coordenadas polares. Podemos fazer uma transformação de variáveis onde
e
. O Jacobiano dessa transformação é
. Então, a área é:
Aqui,
varia de 0 a 1 para cobrir a elipse inteira, e
vai de 0 a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral para a elipse. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, integramos em relação a
:
Então, a área da elipse é
.
Resposta
A área do círculo de raio
é
e a área da elipse com eixos
e
é
.