Usar as integrais duplas para calcular a área de um círculo de raio r. O mesmo para uma elipse de eixos a e b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área de um círculo e de uma elipse usando integrais duplas. O conteúdo aqui é de cálculo integral, mais especificamente integrais duplas que nos ajudam a encontrar áreas em coordenadas bidimensionais. Para resolver, vamos precisar entender como configurar a integral dupla para cada forma geométrica e usar coordenadas apropriadas para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área de um círculo de raio r usando integrais duplas. Um círculo centrado na origem pode ser descrito pela equação x^2 + y^2 <= r^2. Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde x = r costheta e y = r sintheta. Em coordenadas polares, a área é dada por:
A = integral0^2pi integral0^r rho, drho, dtheta
Aqui, rho é o raio variável que vai de 0 até r, e theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.

Passo 3

Vamos resolver a integral para o círculo. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^r rho, drho = [rho^22]0^r = r^22
Agora, integramos em relação a theta:
A = integral0^2pi r^22, dtheta = r^22 times 2pi = pi r^2
Então, a área do círculo é pi r^2.

Passo 4

Agora, vamos calcular a área de uma elipse com eixos a e b. A equação da elipse centrada na origem é x^2a^2 + y^2b^2 <= 1. Para essa forma, vamos usar coordenadas elípticas, que generalizam as coordenadas polares. Podemos fazer uma transformação de variáveis onde x = arho costheta e y = brho sintheta. O Jacobiano dessa transformação é abrho. Então, a área é:
A = integral0^2pi integral0^1 abrho, drho, dtheta
Aqui, rho varia de 0 a 1 para cobrir a elipse inteira, e theta vai de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos resolver a integral para a elipse. Primeiro, integramos em relação a rho:
integral0^1 abrho, drho = ab [rho^22]0^1 = ab2
Agora, integramos em relação a theta:
A = integral0^2pi ab2, dtheta = ab2 times 2pi = pi ab
Então, a área da elipse é pi a b.

Resposta

A área do círculo de raio r é A = pi r^2 e a área da elipse com eixos a e b é A = pi a b.

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