Calcule os limites:
lim x -2 raiz[3]2-3 x^2-21+raiz[3]2 x+3

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite limxto -2 raiz[3]2-3x^2-21+raiz[3]2x+3. O conteúdo envolvido é limite de função com raiz cúbica, em que ao substituir direto obtemos forma não-zero sobre zero, indicando que o limite é infinito ou não existe. Vamos usar substituição direta, expansão (linearização) da raiz cúbica e análise dos sinais laterais.

Passo 2

Substituindo x=-2 no numerador e no denominador para ver o tipo de indeterminação:
numerador=raiz[3]2-3(-2)^2-2=raiz[3]-10-2=-raiz[3]10-2neq0
denominador=1+raiz[3]2(-2)+3=1+raiz[3]-1=1-1=0

Passo 3

Como o numerador tende a uma constante não-zero e o denominador tende a zero, o limite diverge para mais infinito ou menos infinito. Para determinar o sinal, fazemos a expansão em torno de x=-2:
Seja t=x+2. Então
2x+3=2(t-2)+3=2t-1
e, usando derivada de u^1/3 em u=-1,
raiz[3]2x+3=raiz[3]-1+2tapprox -1+2t3
Logo, o denominador se comporta como
1+raiz[3]2x+3approx1-1+2t3=23(x+2)

Passo 4

O numerador tende a -raiz[3]10-2<0 enquanto o denominador tem sinal de x+2. Assim:
  • Para xto-2^- (isto é, x+2<0), o denominador é negativo e o numerador também, gerando +infty.
  • Para xto-2^+ (isto é, x+2>0), o denominador é positivo e o numerador negativo, gerando -infty.

Resposta

O limite não existe: limxto-2^-=+infty e limxto-2^+=-infty.

Exercícios relacionados