Encontre a transformada inversa (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
pis^2(s^2+omega^2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
F(s)=pis^2(s^2+omega^2)
O conteúdo da matéria é Inversão da Transformada de Laplace usando decomposição em frações parciais e tabela de transformadas. Vamos precisar usar a forma canônica de frações parciais e as fórmulas básicas:
L^-11/s^2=t
L^-11/(s^2+omega^2)=(1/omega)sin(omega t)

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
pis^2(s^2+omega^2)=As+Bs^2+Cs+Ds^2+omega^2
Multiplicando ambos os lados por s^2(s^2+omega^2) obtemos
pi=A,s(s^2+omega^2)+B(s^2+omega^2)+(Cs+D)s^2

Passo 3

Expandindo e agrupando termos em potências de s:
pi=(A+C)s^3+(B+D)s^2+Aomega^2s+Bomega^2
Igualando coeficientes à expressão constante pi, temos:
– Coeficiente de s^3: A+C=0
– Coeficiente de s^2: B+D=0
– Coeficiente de s^1: Aomega^2=0 A=0
– Termo constante: Bomega^2=pi B=pi/omega^2
Logo C=-A=0 e D=-B=-pi/omega^2.

Passo 4

Substituindo de volta na decomposição:
F(s)=pi/omega^2s^2-pi/omega^2s^2+omega^2
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
L^-11/s^2=t, então L^-1pi/(omega^2s^2)=piomega^2,t.
L^-11/(s^2+omega^2)=(1/omega)sin(omega t), então L^-1pi/(omega^2(s^2+omega^2))=piomega^2cdot1omegasin(omega t)=piomega^3sin(omega t).

Passo 5

Juntando os resultados, a transformada inversa é
f(t)=piomega^2,t-piomega^3sin(omega t),
para t>0.

Resposta

f(t)=\frac{\pi}{\omega{2}},t-\frac{\pi}{\omega{3}}\sin(\omega t)

Exercícios relacionados