Encontre a transformada inversa (mostrando os detalhes do que fizer e indicando o método ou formula que estiver usando):
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a transformada inversa de
O conteúdo da matéria é Inversão da Transformada de Laplace usando decomposição em frações parciais e tabela de transformadas. Vamos precisar usar a forma canônica de frações parciais e as fórmulas básicas:
–
–
–
–
Passo 2
Para decompor em frações parciais, escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 3
Expandindo e agrupando termos em potências de
:
Igualando coeficientes à expressão constante
, temos:
– Coeficiente de :
– Coeficiente de :
– Coeficiente de :
⇒
– Termo constante: ⇒
Logo e
.
– Coeficiente de
– Coeficiente de
– Coeficiente de
– Termo constante:
Logo
Passo 4
Substituindo de volta na decomposição:
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo:
– , então
.
– , então
.
–
–
Passo 5
Juntando os resultados, a transformada inversa é
para
.
Resposta
f(t)=\frac{\pi}{\omega{2}},t-\frac{\pi}{\omega{3}}\sin(\omega t)