Calcule os limites:
lim x 2 raiz[3]3 x^2-7 x+1raiz[3]2 x^2-5 x+3-1

Passo 1

A questão pede para calcular o comportamento do limite quando x→2 do quociente entre uma raiz cúbica e uma expressão linear. O conteúdo é limites envolvendo raízes e teremos que usar expansão de Taylor de primeira ordem (ou aproximação linear) para a raiz próxima de 1.

Passo 2

Primeiro, avalio numerador e denominador em x=2 para ver a forma da indeterminação. O numerador é
raiz[3]3cdot2^2 - 7cdot2 + 1 = raiz[3]12 - 13,
o que é um valor não nulo (aproximadamente −10,71). O denominador é
raiz[3]2cdot2^2 - 5cdot2 + 3 - 1 = raiz[3]1 - 1 = 0
Logo temos forma “constante sobre zero”, indicando que o limite tende a infinito.

Passo 3

Para entender melhor o sinal e a taxa de divergência, uso a expansão de primeira ordem da raiz cúbica perto de u=1:
raiz[3]u approx 1 + tfrac13(u-1),
quando u está próximo de 1. Aqui tomo
u = 2x^2 - 5x + 3,
então
Note que
raiz[3]2x^2 - 5x + 3 - 1 approx tfrac13x08igl((2x^2 - 5x + 3)-1r) = tfrac13(2x^2 - 5x + 2)
e perto de x=2 temos 2x−1≈3, logo
2x^2 - 5x + 2 = (x-2)(2x-1),
e o denominador se aproxima de
2x^2 - 5x + 2 approx 3(x-2)

Passo 4

Assim, para x≈2 o quociente fica aproximadamente
raiz[3]3x^2-7x+1raiz[3]2x^2 - 5x + 3-1 approx raiz[3]12-13x-2,
e como raiz[3]12-13<0, observamos que:
  • Se x→2⁻ então x−2<0 e o quociente tende a +∞.
  • Se x→2⁺ então x−2>0 e o quociente tende a −∞.

Passo 5

Portanto o limite lateral pela esquerda é +∞, pela direita é −∞, e o limite bilateral não existe por divergência infinita com sinais opostos.

Resposta

limxto2^- = +infty, limxto2^+ = -infty. Portanto limxto2 não existe.

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