Calcule os limites:
Passo 1
A questão pede para calcular o comportamento do limite quando x→2 do quociente entre uma raiz cúbica e uma expressão linear. O conteúdo é limites envolvendo raízes e teremos que usar expansão de Taylor de primeira ordem (ou aproximação linear) para a raiz próxima de 1.
Passo 2
Primeiro, avalio numerador e denominador em x=2 para ver a forma da indeterminação. O numerador é
o que é um valor não nulo (aproximadamente −10,71). O denominador é
Logo temos forma “constante sobre zero”, indicando que o limite tende a infinito.
Passo 3
Para entender melhor o sinal e a taxa de divergência, uso a expansão de primeira ordem da raiz cúbica perto de u=1:
quando u está próximo de 1. Aqui tomo
então
Note que
e perto de x=2 temos 2x−1≈3, logo
e o denominador se aproxima de
Passo 4
Assim, para x≈2 o quociente fica aproximadamente
e como
, observamos que:
- Se x→2⁻ então x−2<0 e o quociente tende a +∞.
- Se x→2⁺ então x−2>0 e o quociente tende a −∞.
Passo 5
Portanto o limite lateral pela esquerda é +∞, pela direita é −∞, e o limite bilateral não existe por divergência infinita com sinais opostos.