(Problema de Dirichlet para a Equação de Laplace no Retângulo) Resolva os seguintes problemas:
(a) lux x+uy y=0 u(x, 0)=x(1-x), u(x, 1)=0 u(0, y)=u(1, y)=0 se 0 e 0,

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de Dirichlet para a equação de Laplace no retângulo 0<x<1, 0<y<1 com u_{xx}+u_{yy}=0 e condições de contorno u(x,0)=x(1−x), u(x,1)=0 e u(0,y)=u(1,y)=0. Vamos usar separação de variáveis e séries de Fourier para achar u(x,y).

Passo 2

Procuramos uma solução do tipo u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 e dividindo por XY dá X’’/X = −Y’’/Y = −λ. Com X(0)=X(1)=0, temos λ_n=(nπ)^2 e X_n(x)=sin(nπx). A equação para Y_n é Y_n’'−(nπ)^2Y_n=0.
A combinação linear das soluções em y deve satisfazer u(x,1)=0. Uma escolha conveniente é Y_n(y)=sinh[nπ(1−y)]/sinh(nπ), pois Y_n(1)=0 e Y_n(0)=1. Assim a forma geral é
u(x,y)=sumn=1^infty An,sinh[npi(1-y)]sinh(npi)sin(npi x)

Passo 3

Para ajustar a condição em y=0, impondo u(x,0)=x(1−x)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin(n\pi x), vemos que A_n são coeficientes de uma série de seno:
An=2integral0^1x(1-x)sin(npi x),dx

Passo 4

Calculando a integral por partes (ou usando fórmulas padrões) obtém-se 2integral0^1x(1-x)sin(npi x)dx=-4(-1)^n-1n^3pi^3. Como para n par (-1)^n−1=0 e para n ímpar (-1)^n−1=−2, resultam
An=0,&n par,8n^3pi^3,&n ímparí

Resposta

u(x,y)=sumk=0^infty8(2k+1)^3pi^3,sinhl((2k+1)pi(1-y)r)sinhl((2k+1)pir),sinl((2k+1)pi xr)

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