Calcule os limites: lim x 1 raiz[m]x-1raiz[n]x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1raiz[m]x-1raiz[n]x-1. Ao substituir x=1, numerador e denominador valem zero, gerando a indeterminação 00. Para resolver isso, vamos usar a regra de L’Hôpital, que nos permite reescrever o limite pela razão das derivadas do numerador e do denominador.

Passo 2

A regra de L’Hôpital diz que, se limxto1f(x)g(x)=00 e as derivadas f'(x) e g'(x) existem próximas de x=1, então
limxto1f(x)g(x)=limxto1f'(x)g'(x)
No nosso caso, definimos
f(x)=x^1/m-1,
g(x)=x^1/n-1

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x)=ddxl(x^1/m-1r)=1m,x^1m-1,
g'(x)=ddxl(x^1/n-1r)=1n,x^1n-1
Pelo passo anterior, o limite se torna
limxto1f'(x)g'(x)=limxto11mx^1m-11nx^1n-1
Agora basta substituir x=1 e simplificar: os fatores 1^1m-1 e 1^1n-1 valem 1, ficando
1m1n=nm

Resposta

tfracnm

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