Determine se a sequência converge o diverge. Se ela convergir encontre o limite.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que analisar a sequência $ a_{n} = n \pi \cos(n \pi) $. O objetivo é descobrir se essa sequência converge (ou seja, se ela se aproxima de um valor específico conforme $ n $ aumenta) ou se ela diverge (não se aproxima de nenhum valor). Para resolver isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre sequências, limites e a função cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \cos(n \pi) $. Sabemos que o cosseno de $ n \pi $ alterna entre 1 e -1 conforme $ n $ aumenta. Isso porque:
Então, nossa sequência fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento dessa sequência. Observe que $ n $ está aumentando sem limites, ou seja, $ n $ tende ao infinito. Já $ \pi $ é uma constante, então não interfere no crescimento.
Também vemos que $ (-1)^n $ faz os termos da sequência alternarem de sinal: quando $ n $ é par, $ (-1)^n = 1 $, e quando $ n $ é ímpar, $ (-1)^n = -1 $.
Passo 4
Vamos olhar para o valor absoluto da sequência para entender melhor:
Vemos que $ |a_{n}| = n \pi $ cresce sem limites conforme $ n $ aumenta. Isso significa que a magnitude dos termos da sequência está aumentando indefinidamente.
Passo 5
Para que uma sequência converja, ela precisa se aproximar de um valor específico quando $ n $ tende ao infinito. No nosso caso, $ |a_{n}| $ está indo para o infinito, o que indica que a sequência não está se aproximando de nenhum número finito.
Resposta
A sequência $ a_{n} = n \pi \cos(n \pi) $ diverge, ou seja, não converge para nenhum limite à medida que $ n $ cresce.