Considere a função
e
.
Se
é unitário apontando na direção que
tem maior taxa de crescimento, em
, então
) e a derivada direcional nessa direção é
Se
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 12x + 2y^2 - 6xy^2 + 2\ln(xy) $, e um ponto específico $ P(1, 1) $. A tarefa é encontrar o vetor unitário $ \vec{u}_{max} $ que aponta na direção em que a função $ f(x, y) $ cresce mais rapidamente nesse ponto, e também calcular a derivada direcional nessa direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o gradiente da função $ f $ em um ponto nos dá a direção de maior crescimento da função nesse ponto. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular essas derivadas para a nossa função.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ P(1, 1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
Portanto, o gradiente em $ P(1, 1) $ é $ \nabla f(1,1) = (8, -6) $.
Passo 5
O vetor $ \vec{u}_{max} $ é a direção do gradiente, mas precisamos que seja um vetor unitário (com comprimento 1). Para isso, vamos normalizar o gradiente:
Então,
A derivada direcional na direção de $ \vec{u}_{max} $ é igual à magnitude do gradiente:
Resposta
$ \vec{u}_{max} = (0.8, -0.6) $ e a derivada direcional nessa direção é $ 10 $.