Considere a função f(x, y)=12 x+2 y^2-6 x y^2+2 ln (x y) e P(1,1).
Se u max é unitário apontando na direção que f(x, y) tem maior taxa de crescimento, em P(1,1), então u max =( ) e a derivada direcional nessa direção é

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, $ f(x, y) = 12x + 2y^2 - 6xy^2 + 2\ln(xy) $, e um ponto específico $ P(1, 1) $. A tarefa é encontrar o vetor unitário $ \vec{u}_{max} $ que aponta na direção em que a função $ f(x, y) $ cresce mais rapidamente nesse ponto, e também calcular a derivada direcional nessa direção. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente o gradiente e derivadas direcionais.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o gradiente da função $ f $ em um ponto nos dá a direção de maior crescimento da função nesse ponto. O gradiente é um vetor composto pelas derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $. Vamos calcular essas derivadas para a nossa função.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
x
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
partial fpartial x = partialpartial x(12x) + partialpartial x(2y^2) - partialpartial x(6xy^2) + partialpartial x(2ln(xy))
partial fpartial x = 12 + 0 - 6y^2 + 2x

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente $ \nabla f $ no ponto $ P(1, 1) $. Substituindo $ x = 1 $ e $ y = 1 $ nas derivadas parciais:
nabla f
P(1, 1)
Portanto, o gradiente em $ P(1, 1) $ é $ \nabla f(1,1) = (8, -6) $.

Passo 5

O vetor $ \vec{u}_{max} $ é a direção do gradiente, mas precisamos que seja um vetor unitário (com comprimento 1). Para isso, vamos normalizar o gradiente:
umax
Então,
|nabla f(1,1)| = raiz8^2 + (-6)^2 = raiz64 + 36 = raiz100 = 10
A derivada direcional na direção de $ \vec{u}_{max} $ é igual à magnitude do gradiente:
umax = (810, -610) = (0.8, -0.6)

Resposta

$ \vec{u}_{max} = (0.8, -0.6) $ e a derivada direcional nessa direção é $ 10 $.

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