Mostre que:
Se
, onde
e
, então
.
Se
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para mostrar que a soma
pode ser expressa como
. Aqui, estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência onde cada termo é múltiplo constante do termo anterior. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a soma
de forma mais clara:
Nossa meta é encontrar uma expressão fechada para
.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação por
:
Isso desloca todos os termos para frente.
Passo 4
Agora, subtraímos a equação original
da equação multiplicada por
:
Perceba que muitos termos se cancelam nessa subtração.
Passo 5
Simplificando a subtração, ficamos com:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
Portanto, mostramos que: