Mostre que:
Se S=r+r^2+r^3+ldots+r^n, onde n in N e r neq 1, então S=r^n+1-rr-1.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para mostrar que a soma pode ser expressa como . Aqui, estamos lidando com uma série geométrica, que é uma sequência onde cada termo é múltiplo constante do termo anterior. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica finita.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a soma S = r + r^2 + r^3 + ldots + r^n de forma mais clara:
Nossa meta é encontrar uma expressão fechada para .

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação por rS = r^2 + r^3 + r^4 + ldots + r^n+1 :
Isso desloca todos os termos para frente.

Passo 4

Agora, subtraímos a equação original rS - S = r^2 + r^3 + ldots + r^n+1 - (r + r^2 + r^3 + ldots + r^n) da equação multiplicada por :
Perceba que muitos termos se cancelam nessa subtração.

Passo 5

Simplificando a subtração, ficamos com:
rS - S = r^n+1 - r
Fatorando S(r - 1) = r^n+1 - r no lado esquerdo:

Passo 6

Agora, isolamos S = r^n+1 - rr - 1 dividindo ambos os lados por :

Resposta

Portanto, mostramos que:
S = r^n+1 - rr - 1

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