Calcule os limites
lim x 4 raizx-2-raiz2x^2-16

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto4raizx-2-raiz2x^2-16
O conteúdo envolvido é cálculo de limites que resultam numa forma indeterminada tfrac00, e a técnica padrão para resolver isso é usar racionalização do numerador e fatoração do denominador.

Passo 2

Antes de tudo, vamos verificar que temos mesmo uma indeterminação. Para x=4:
– numerador: raiz4-2-raiz2=raiz2-raiz2=0,
– denominador: 4^2-16=16-16=0.
Logo, temos tfrac00 e precisamos manipular a expressão.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando numerador e denominador pelo conjugado raizx-2+raiz2:
raizx-2-raiz2x^2-16 =(raizx-2-raiz2)(raizx-2+raiz2)(x^2-16)(raizx-2+raiz2) =,x-4,(x^2-16),(raizx-2+raiz2)

Passo 4

Agora fatoramos o denominador usando x^2-16=(x-4)(x+4) e cancelamos o fator comum x-4:
x-4(x-4)(x+4),(raizx-2+raiz2) =1(x+4),(raizx-2+raiz2)

Passo 5

Com a expressão simplificada, já podemos aplicar a substituição direta x=4:
limxto41(x+4)(raizx-2+raiz2) =18l(raiz2+raiz2r) =18cdot2raiz2 =116raiz2

Resposta

116raiz2

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