Q. 1. Qual a alternativa verdadeira?
(a) Se f(1)=2, então lim x 1 f(x)=2;
(b) A função f:[a, b] R é contínua. Se f(a) cdot f(b)>0, então f possui algum zero em [a, b];
(c) Se lim x a f(x)=L, então lim x b^+ f(x)-lim x c^- f(x)=0;
(d) Se f é uma função contínua para todo x neq 0 com f(0)=0, então lim x 0 f(x)=0.

Passo 1

O enunciado apresenta quatro afirmações sobre limites e continuidade de funções e pede para identificar qual é verdadeira. O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (continuidade em intervalo), definição de limite e relação limite–valor de função.

Passo 2

Analisando a alternativa (a):
“Se ,f(1)=2, então limxto1f(x)=2.”
Isso só vale se f for contínua em x=1. Mas não foi dada nenhuma hipótese de continuidade em 1. Portanto (a) é falsa.

Passo 3

Analisando a alternativa (b):
“A função f:[a,b]toR é contínua. Se f(a)cdot f(b)>0, então f possui algum zero em [a,b].”
O Teorema do Valor Intermediário garante raiz se f(a) e f(b) têm sinais opostos, isto é, f(a)cdot f(b)<0. Se f(a)cdot f(b)>0, ambos têm mesmo sinal e não há garantia de zero. Logo (b) é falsa.

Passo 4

Analisando a alternativa (c):
“Se limxto af(x)=L, então limxto b^+f(x)-limxto c^-f(x)=0.”
Essa afirmação mistura pontos a,b,c sem relação alguma; não segue nenhuma propriedade conhecida de limites. Então (c) é falsa.

Passo 5

Analisando a alternativa (d):
“Se f é contínua para todo xneq0 com f(0)=0, então limxto0f(x)=0.”
Aqui falta garantir a continuidade em x=0. Por exemplo, f(x)=sin(1/x) para xneq0 e f(0)=0 é contínua em todo ponto não nulo, mas limxto0sin(1/x) não existe. Logo (d) é falsa.

Resposta

Nenhuma das alternativas é verdadeira.

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