A função f(x)=l-x^2 / 4 pi-x / 2+pi / 2, -pi <= x <= 0 -x^2 / 4 pi+x / 2+pi / 2, 0 <= x <= pi é suposta 2 pi-periódica. Encontre sua série de Fourier.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período
e pede a sua série de Fourier. Vamos usar que (f] é par, logo só aparecem termos em cosseno, e calcular os coeficientes
]

Passo 2

Mostramos que f é par:
para xin[0,pi] tem-se
f(-x) =-(-x)^24pi--x2+pi2 =-x^24pi+x2+pi2 =f(x),
logo bn=0 para todo n.

Passo 3

Calcular a0:
a0 =1piintegral-pi^pif(x),dx =2piintegral0^pil(-x^24pi+x2+pi2r),dx
Agora,
integral0^pi-x^24pi,dx =-14picdotpi^33 =-pi^212, integral0^pix2,dx =pi^24, integral0^pipi2,dx =pi^22
Somando e multiplicando por 2/pi obtém-se
a0 =2pil(-tfracpi^212+tfracpi^24+tfracpi^22r) =4pi3,
portanto o termo constante da série é a0/2=2pi/3.

Passo 4

Calcular an para n>=1:
an =2piintegral0^pif(x)cos(nx),dx =2pil(I1+I2+I3r),
com
I1 =integral0^pi-x^24picos(nx),dx, I2 =integral0^pix2cos(nx),dx, I3 =integral0^pipi2cos(nx),dx
Usando as fórmulas conhecidas
integral0^pix^2cos(nx),dx=2pi(-1)^nn^2, integral0^pixcos(nx),dx=(-1)^n-1n^2, integral0^picos(nx),dx=0,
vem
I1 =-14picdot2pi(-1)^nn^2 =-(-1)^n2n^2, I2 =12cdot(-1)^n-1n^2, I3=0
Logo
I1+I2 =-(-1)^n2n^2 +(-1)^n-12n^2 =-12n^2,
e
an =2pil(-12n^2r) =-1pi n^2

Passo 5

Reunindo tudo, a série de Fourier de f fica
f(x) =a02 +sumn=1^inftyancos(nx) =2pi3 -1pisumn=1^inftycos(nx)n^2

Resposta

boxed f(x) =2pi3 -1pisumn=1^inftycos(nx)n^2

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