Calcule os limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função
é bem definida e tem valor . - O numerador é
. - O denominador é
, que tende a quando e é sempre não negativo ( para ).
O que devemos decidir: o limite é um número real finito, ou diverge paraou , ou não existe?
Passo 2
Calcular o limite do numerador. Como
é contínua em
, vale
Portanto o numerador tende para a constante
quando
.
Passo 3
Calcular o limite do denominador. É direto:
Além disso, para
temos
, ou seja, o denominador tende a
por valores positivos.
Passo 4
Interpretar os dois limites: o numerador tende para uma constante não nula (
) e o denominador tende para
por valores positivos. Quando uma fração tem numerador aproximando-se de uma constante negativa e denominador aproximando-se de
, a fração fica negativa com módulo tendendo a
; logo o limite deve ser
.
Para tornar isso mais rigoroso (prova por desigualdade): como
, existe
tal que, para
,
Assim, para esses
,
Em particular, para
vale
. Então, para qualquer
, se escolhermos
temos
Isto mostra que a fração fica arbitrariamente negativa quando
está suficientemente próximo de
, ou seja, o limite é
.
Passo 5
Comentário alternativo (intuição): expandindo
em série de Taylor em torno de
,
logo o numerador
. Dividindo por
aparece o termo dominante
que diverge para
. Isso confirma a conclusão anterior.