Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-2+\cos x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{-2+\cos x}{x^{2}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função \cos x é bem definida e tem valor \cos 0 = 1.
  • O numerador é -2+\cos x.
  • O denominador é x^{2}, que tende a 0 quando x\to 0 e é sempre não negativo ( x^{2}>0 para x\neq0).
    O que devemos decidir: o limite é um número real finito, ou diverge para +\infty ou -\infty, ou não existe?

Passo 2

Calcular o limite do numerador. Como \cos x é contínua em 0, vale
\lim_{x\to 0}(-2+\cos x) = -2 + \cos 0 = -2 + 1 = -1.
Portanto o numerador tende para a constante -1 quando x\to 0.

Passo 3

Calcular o limite do denominador. É direto:
\lim_{x\to 0} x^{2} = 0.
Além disso, para x\neq 0 temos x^{2}>0, ou seja, o denominador tende a 0 por valores positivos.

Passo 4

Interpretar os dois limites: o numerador tende para uma constante não nula ( -1) e o denominador tende para 0 por valores positivos. Quando uma fração tem numerador aproximando-se de uma constante negativa e denominador aproximando-se de 0^{+}, a fração fica negativa com módulo tendendo a +\infty; logo o limite deve ser -\infty.
Para tornar isso mais rigoroso (prova por desigualdade): como \lim_{x\to0}\cos x=1, existe \delta>0 tal que, para 0<|x|<\delta,
|\cos x - 1| < \tfrac{1}{2}.
Assim, para esses x,
\cos x \in \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{3}{2}\bigr) \quad\Rightarrow\quad -2+\cos x \in \bigl(-\tfrac{3}{2}, -\tfrac{1}{2}\bigr).
Em particular, para 0<|x|<\delta vale -2+\cos x \le -\tfrac{1}{2}. Então, para qualquer M>0, se escolhermos 0<|x|<\min\!\bigl(\delta,\sqrt{\tfrac{1}{2M}}\bigr) temos
\frac{-2+\cos x}{x^{2}} \le \frac{-\tfrac{1}{2}}{x^{2}} < -M.
Isto mostra que a fração fica arbitrariamente negativa quando x está suficientemente próximo de 0, ou seja, o limite é -\infty.

Passo 5

Comentário alternativo (intuição): expandindo \cos x em série de Taylor em torno de 0,
\cos x = 1 - \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4}),
logo o numerador -2+\cos x = -1 - \tfrac{x^{2}}{2} + O(x^{4}). Dividindo por x^{2} aparece o termo dominante -\tfrac{1}{x^{2}} que diverge para -\infty. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

-\infty

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