Seja f(x)=x^{3}-x^{2}. Utilize a definição de derivada para calcular f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado pede para calcular f'(x) usando a definição de derivada. O que temos de dado é:
f(x)=x^{3}-x^{2}.
A pergunta é: qual é a expressão de f'(x) obtida a partir da definição de derivada (não usando regras prontas)?

Passo 2

Vou lembrar a definição de derivada e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de f em x pela definição é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui:
  • h é um incremento pequeno aplicado ao ponto x;
  • a fração \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} é o coeficiente angular da reta secante que passa por (x,f(x)) e (x+h,f(x+h));
  • o limite quando h\to0 faz a secante aproximar a tangente em x, e seu coeficiente angular é a derivada f'(x).

Passo 3

Calcular f(x+h) expandindo os binômios. Primeiro escrevo (x+h)^3 e (x+h)^2 desenvolvidos:
(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3
(x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2
Portanto
f(x+h) = (x+h)^3 - (x+h)^2 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^2 - 2xh - h^2

Passo 4

Formar a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=x^3-x^2, subtraio:
f(x+h)-f(x) = \bigl(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^2 - 2xh - h^2\bigr) - \bigl(x^3 - x^2\bigr)
Ao cancelar termos iguais ( x^3 e -x^2 aparecem em ambas as parcelas) fica:
f(x+h)-f(x) = 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2xh - h^2

Passo 5

Dividir por h para obter o quociente incremental e fatorar h para simplificar:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3 - 2xh - h^2}{h}
Colocando h em evidência no numerador:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{h\bigl(3x^2 + 3xh + h^2 - 2x - h\bigr)}{h}
Cancelando h (para h\neq0, que é o caso considerado antes do limite):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = 3x^2 + 3xh + h^2 - 2x - h

Passo 6

Agora aplico o limite quando h\to0. Uso a propriedade de que o limite de soma é a soma dos limites e que \lim_{h\to0}h=0, \lim_{h\to0}h^2=0, \lim_{h\to0}xh= x\cdot0=0. Assim
f'(x)=\lim_{h\to0}\bigl(3x^2 + 3xh + h^2 - 2x - h\bigr) = 3x^2 + 0 + 0 - 2x + 0
Portanto
f'(x)=3x^2 - 2x.

Passo 7

Breve verificação intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): aplicando a regra da potência termo a termo (derivada de x^3 é 3x^2; derivada de -x^2 é -2x) obtém-se a mesma resposta 3x^2-2x. Isso confirma que o resultado pela definição está coerente.

Resposta

f'(x)=3x^{2}-2x

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