Seja
. Utilize a definição de derivada para calcular
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
usando a definição de derivada. O que temos de dado é:
A pergunta é: qual é a expressão de
obtida a partir da definição de derivada (não usando regras prontas)?
Passo 2
Vou lembrar a definição de derivada e explicar o que cada símbolo significa. A derivada de
em
pela definição é
Aqui:
-
é um incremento pequeno aplicado ao ponto ; - a fração
é o coeficiente angular da reta secante que passa por e ; - o limite quando
faz a secante aproximar a tangente em , e seu coeficiente angular é a derivada .
Passo 3
Calcular
expandindo os binômios. Primeiro escrevo
e
desenvolvidos:
Portanto
Passo 4
Formar a diferença
. Lembrando que
, subtraio:
Ao cancelar termos iguais (
e
aparecem em ambas as parcelas) fica:
Passo 5
Dividir por
para obter o quociente incremental e fatorar
para simplificar:
Colocando
em evidência no numerador:
Cancelando
(para
, que é o caso considerado antes do limite):
Passo 6
Agora aplico o limite quando
. Uso a propriedade de que o limite de soma é a soma dos limites e que
,
,
. Assim
Portanto
Passo 7
Breve verificação intuitiva (opcional, só para ganhar confiança): aplicando a regra da potência termo a termo (derivada de
é
; derivada de
é
) obtém-se a mesma resposta
. Isso confirma que o resultado pela definição está coerente.