Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+\sqrt{x})}{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x}.
Informações que temos do enunciado:
  • A expressão contém \sqrt{x}, logo a função só está definida para x\ge 0. Portanto o limite relevante é pela direita, isto é, x\to 0^+.
  • Não há outros dados numéricos; precisamos analisar o comportamento da razão quando x se aproxima de 0 por valores positivos.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada. Quando x\to 0^+ temos \sqrt{x}\to 0, então \ln(1+\sqrt{x})\to\ln 1 = 0 e o denominador x\to 0. Logo a forma é 0/0, uma indeterminação clássica que permite usar a regra de L’Hôpital (ou outros métodos).

Passo 3

Lembrete rápido da regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se \lim_{x\to a} f(x)=0 e \lim_{x\to a} g(x)=0 e f,g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a), então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
desde que o limite do quociente das derivadas exista (finito ou infinito). Aqui usaremos essa regra porque temos 0/0.

Passo 4

Calcular as derivadas necessárias, explicando cada passo.
A função do numerador é f(x)=\ln(1+\sqrt{x}).
  • Usamos a regra da cadeia: se f(x)=\ln(u(x)) então f'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Aqui u(x)=1+\sqrt{x}. A derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}} (porque \sqrt{x}=x^{1/2} e \tfrac{d}{dx}x^{1/2}=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}).
    Portanto
f'(x)=\frac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}{1+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})}.
A derivada do denominador g(x)=x é g'(x)=1.
Pelo enunciado da regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x} =\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})}.

Passo 5

Avaliar o limite da expressão obtida:
\lim_{x\to 0^+}\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})}.
Quando x\to 0^+ temos \sqrt{x}\to 0^+, então o produto 2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})\to 0^+. A fração cujo denominador tende a 0^+ tem limite +\infty. Para deixar mais claro, para 0<x<1 vale 1+\sqrt{x}\le 2, então
\frac{1}{2\sqrt{x}\,(1+\sqrt{x})}\ge\frac{1}{2\sqrt{x}\cdot 2}=\frac{1}{4\sqrt{x}},
e \dfrac{1}{4\sqrt{x}}\to+\infty quando x\to 0^+; assim a expressão original diverge para +\infty.

Passo 6

Comentário alternativo (intuição rápida): fazendo a substituição \,t=\sqrt{x}, quando x\to 0^+ tem-se t\to 0^+ e
\frac{\ln(1+\sqrt{x})}{x}=\frac{\ln(1+t)}{t^2}.
Como \ln(1+t)\sim t para t\to 0 (equivalência padrão: \ln(1+t)=t+o(t)), a razão comporta-se como t/t^2=1/t, que tende a +\infty quando t\to 0^+. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.

Resposta

+\infty

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