Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações que temos do enunciado:
- A expressão contém
, logo a função só está definida para . Portanto o limite relevante é pela direita, isto é, . - Não há outros dados numéricos; precisamos analisar o comportamento da razão quando
se aproxima de por valores positivos.
Passo 2
Verificar a forma indeterminada. Quando
temos
, então
e o denominador
. Logo a forma é
, uma indeterminação clássica que permite usar a regra de L’Hôpital (ou outros métodos).
Passo 3
Lembrete rápido da regra de L’Hôpital (em linguagem simples): se
e
e
são diferenciáveis numa vizinhança de
(exceto talvez em
), então
desde que o limite do quociente das derivadas exista (finito ou infinito). Aqui usaremos essa regra porque temos
.
Passo 4
Calcular as derivadas necessárias, explicando cada passo.
A função do numerador é
.
- Usamos a regra da cadeia: se
então . - Aqui
. A derivada de é (porque e ).
Portanto
A derivada do denominador
é
.
Pelo enunciado da regra de L’Hôpital,
Passo 5
Avaliar o limite da expressão obtida:
Quando
temos
, então o produto
. A fração cujo denominador tende a
tem limite
. Para deixar mais claro, para
vale
, então
e
quando
; assim a expressão original diverge para
.
Passo 6
Comentário alternativo (intuição rápida): fazendo a substituição
, quando
tem-se
e
Como
para
(equivalência padrão:
), a razão comporta-se como
, que tende a
quando
. Isso confirma o resultado obtido com L’Hôpital.