Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen} x}-1}{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1}{x}.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A expressão no numerador é \sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1.
  • O denominador é x.
  • Ao tentar substituição direta: quando x\to 0 temos \operatorname{sen}x\to 0, então o numerador tende a \sqrt{1+0}-1=0 e o denominador tende a 0. Portanto é uma indeterminação do tipo 0/0.
    O objetivo é eliminar essa indeterminação e encontrar o valor do limite.

Passo 2

Uma técnica muito útil para termos que envolvem raízes é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de \sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1 é \sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1. Multiplicar por essa expressão equivale a multiplicar por 1, então não muda o valor, mas simplifica algebraicamente:
\frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1}{x} = \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1}{x}\cdot \frac{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}.
Agora fazemos a multiplicação no numerador (produto da diferença pela soma = diferença de quadrados):
\frac{(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}-1)(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1)}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1\bigr)} = \frac{1+\operatorname{sen}x-1}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1\bigr)}.
Simplificando o numerador:
\frac{\operatorname{sen}x}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1\bigr)}.

Passo 3

Reescrevendo como produto de duas frações, fica mais claro para aplicar propriedades de limite:
\frac{\operatorname{sen}x}{x\bigl(\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1\bigr)} = \left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}.
Agora vamos estudar os limites das duas partes separadamente, porque existe uma propriedade de limites que diz: se \lim_{x\to 0}A(x)=L e \lim_{x\to 0}B(x)=M com L e M finitos, então \lim_{x\to 0} A(x)B(x)=LM. Aplicaremos isso aqui.

Passo 4

Limite da primeira parte: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}.
Esse é um limite clássico. Uma maneira simples e padrão de ver que ele vale 1 é usar a desigualdade trigonométrica (válida para 0<x<\tfrac{\pi}{2}):
\cos x < \frac{\operatorname{sen}x}{x} < 1.
Explicação curta dessa desigualdade: geometricamente (ou usando relações entre arco, seno e tangente) tem-se \operatorname{sen}x < x < \operatorname{tg}x, que ao manipular leva à desigualdade acima. Para x<0 a função \frac{\operatorname{sen}x}{x} é par, então o mesmo limite vale por simetria. Como \lim_{x\to 0}\cos x = 1, pelo Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) segue que
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}=1.

Passo 5

Limite da segunda parte: \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}.
Aqui usamos continuidade de funções elementares: a função u\mapsto \sqrt{u} é contínua em u=1, e \operatorname{sen}x\to 0 quando x\to 0. Assim 1+\operatorname{sen}x\to 1, portanto
\lim_{x\to 0}\sqrt{1+\operatorname{sen}x}=\sqrt{1}=1.
Logo o denominador \sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1 tende a 1+1=2, e
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora juntamos os dois limites usando a propriedade do produto de limites:
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\cdot \frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1} = \left(\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x}\right)\cdot \left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{1+\operatorname{sen}x}+1}\right).
Substituindo os valores que obtivemos:
1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{2}

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