Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações importantes que o enunciado dá:
- A expressão no numerador é
. - O denominador é
. - Ao tentar substituição direta: quando
temos , então o numerador tende a e o denominador tende a . Portanto é uma indeterminação do tipo .
O objetivo é eliminar essa indeterminação e encontrar o valor do limite.
Passo 2
Uma técnica muito útil para termos que envolvem raízes é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador. A conjugada de
é
. Multiplicar por essa expressão equivale a multiplicar por
, então não muda o valor, mas simplifica algebraicamente:
Agora fazemos a multiplicação no numerador (produto da diferença pela soma = diferença de quadrados):
Simplificando o numerador:
Passo 3
Reescrevendo como produto de duas frações, fica mais claro para aplicar propriedades de limite:
Agora vamos estudar os limites das duas partes separadamente, porque existe uma propriedade de limites que diz: se
e
com
e
finitos, então
. Aplicaremos isso aqui.
Passo 4
Limite da primeira parte:
.
Esse é um limite clássico. Uma maneira simples e padrão de ver que ele vale
é usar a desigualdade trigonométrica (válida para
):
Explicação curta dessa desigualdade: geometricamente (ou usando relações entre arco, seno e tangente) tem-se
, que ao manipular leva à desigualdade acima. Para
a função
é par, então o mesmo limite vale por simetria. Como
, pelo Teorema do Confronto (ou “squeeze theorem”) segue que
Passo 5
Limite da segunda parte:
.
Aqui usamos continuidade de funções elementares: a função
é contínua em
, e
quando
. Assim
, portanto
Logo o denominador
tende a
, e
Passo 6
Agora juntamos os dois limites usando a propriedade do produto de limites:
Substituindo os valores que obtivemos: