Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{\operatorname{sen} x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\operatorname{sen} x}.
Informações relevantes:
  • Quando x\to 0, o numerador e^{x^{2}}-1\to 0.
  • Quando x\to 0, o denominador \operatorname{sen} x\to 0.
    Portanto temos uma forma indeterminada do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar limites conhecidos e equivalências para termos que tendem a zero.

Passo 2

Lembrete e justificação do limite útil 1:
\lim_{t\to 0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Explicação: a função exponencial tem desenvolvimento em série de Maclaurin
e^{t}=1+t+\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por t
\frac{e^{t}-1}{t}=1+\frac{t}{2!}+\frac{t^{2}}{3!}+\cdots,
e ao fazermos t\to 0 todos os termos com t somados a 1 tendem a 0, logo o limite é 1. Outra forma comum de ver isso é notar que é a derivada de e^{t} em 0, que vale 1.

Passo 3

Lembrete e justificação do limite útil 2:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen} x}{x}=1.
Explicação curta: por argumentos geométricos (desigualdades envolvendo seno, cosseno e tangente) ou pelo desenvolvimento em série \operatorname{sen} x = x - x^{3}/3! + \cdots, divide-se por x e obtém-se 1 + O(x^{2}), portanto o limite é 1.

Passo 4

Reescrevemos a expressão de forma a usar as duas equivalências acima. Observe que
\frac{e^{x^{2}}-1}{\operatorname{sen} x} = \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\cdot\frac{x^{2}}{\operatorname{sen} x} = \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\cdot x\cdot\frac{x}{\operatorname{sen} x}.
Aqui fizemos x^{2}/\operatorname{sen} x = x\cdot (x/\operatorname{sen} x).

Passo 5

Tomando limite em cada fator quando x\to 0:
  • Pelo Passo 2, com t=x^{2}, tem-se \lim_{x\to 0}\dfrac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1.
  • \lim_{x\to 0} x = 0.
  • Pelo Passo 3, \lim_{x\to 0}\dfrac{x}{\operatorname{sen} x}=1.
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque os limites individuais existem):
\lim_{x\to 0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\operatorname{sen} x} = 1\cdot 0\cdot 1 = 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados