Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes:
- Quando
, o numerador . - Quando
, o denominador .
Portanto temos uma forma indeterminada do tipo. Para resolver, vamos usar limites conhecidos e equivalências para termos que tendem a zero.
Passo 2
Lembrete e justificação do limite útil 1:
Explicação: a função exponencial tem desenvolvimento em série de Maclaurin
Subtraindo 1 e dividindo por
dá
e ao fazermos
todos os termos com
somados a
tendem a
, logo o limite é
. Outra forma comum de ver isso é notar que é a derivada de
em
, que vale
.
Passo 3
Lembrete e justificação do limite útil 2:
Explicação curta: por argumentos geométricos (desigualdades envolvendo seno, cosseno e tangente) ou pelo desenvolvimento em série
, divide-se por
e obtém-se
, portanto o limite é
.
Passo 4
Reescrevemos a expressão de forma a usar as duas equivalências acima. Observe que
Aqui fizemos
.
Passo 5
Tomando limite em cada fator quando
:
- Pelo Passo 2, com
, tem-se . -
. - Pelo Passo 3,
.
Multiplicando os limites (produto de limites existe porque os limites individuais existem):