Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x^{2}}=

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x^{2}}.
  • A variável é x e o limite é tomado para x\to 0.
  • Não há outras condições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos manipular algebricamente a expressão para simplificá‑la: multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do numerador, que é \sqrt{1+x^{2}}+1. Isso usa a identidade (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}. Aplicando:
\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1}{x^{2}}\cdot\frac{\sqrt{1+x^{2}}+1}{\sqrt{1+x^{2}}+1} =\frac{\bigl(\sqrt{1+x^{2}}-1\bigr)\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+1\bigr)}{x^{2}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+1\bigr)}.

Passo 3

Calcule o produto no numerador usando a identidade indicada:
\bigl(\sqrt{1+x^{2}}\bigr)^{2}-1^{2}=(1+x^{2})-1=x^{2}.
Substituindo na fração obtemos:
\frac{x^{2}}{x^{2}\bigl(\sqrt{1+x^{2}}+1\bigr)}=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+1},
desde que x\neq 0 (para cancelar x^{2}). Assim a expressão original é igual a \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+1} para x\neq0.

Passo 4

Agora tomamos o limite da forma simplificada. A função \sqrt{1+x^{2}} é contínua em x=0, logo podemos substituir x=0 diretamente no denominador:
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}+1} =\frac{1}{\sqrt{1+0}+1}=\frac{1}{1+1}.
Observe também que o denominador \sqrt{1+x^{2}}+1 é estritamente positivo próximo de x=0, então não há problema de divisão por zero.

Passo 5

Calcule a fração final:
\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.
Portanto o limite existe e vale \dfrac{1}{2}.

Resposta

\dfrac{1}{2}

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