Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x}.
O conteúdo aqui é limites de funções elementares, em que vamos usar a substituição u=x^{2} e o limite clássico
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^{2}. Quando x\to 0 temos u\to 0. Assim,
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(u)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\;\frac{u}{x}.

Passo 3

Observe que \frac{u}{x} = \frac{x^{2}}{x} = x. Então a expressão fica
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x} = \frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\;x.
Ao calcular o limite, usamos que \lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}=1 e que \lim_{x\to0}x=0.

Passo 4

Pelo teorema do produto de limites,
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}\bigr)}{x} = \Bigl(\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\Bigr)\;\Bigl(\lim_{x\to0}x\Bigr) = 1\cdot 0 = 0.

Resposta

0

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