Use o Teste da Segunda Derivada para avaliar se os pontos críticos das funções abaixo são extremos locais:
f(x)=x \ln (x).

Passo 1

O enunciado pede para usar o Teste da Segunda Derivada na função
f(x)=x\ln(x),\quad x>0,
ou seja, precisamos encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) e, em seguida, calcular f''(x) nesses pontos para decidir se são mínimos ou máximos locais.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada usando a regra do produto:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)\ln(x)+x\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)\bigr) =1\cdot\ln(x)+x\cdot\frac{1}{x} =\ln(x)+1.
Para achar o ponto crítico, resolvemos
\ln(x)+1=0 \quad\Longrightarrow\quad \ln(x)=-1 \quad\Longrightarrow\quad x=\mathrm{e}^{-1}=\frac{1}{e}.

Passo 3

Agora, calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(\ln(x)+1\bigr) =\frac{1}{x}.
Avaliamos em x=1/e:
f''\bigl(\tfrac{1}{e}\bigr) =\frac{1}{1/e} =e>0.
Como f''(1/e)>0, pelo Teste da Segunda Derivada concluímos que há um mínimo local em x=1/e.

Resposta

O ponto crítico é x=1/e e, como f''(1/e)=e>0, trata-se de um mínimo local.

Exercícios relacionados