Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável tende para
. - O numerador é
. - O denominador é
. - Note que a expressão dentro do seno é
, que também tende a quando (pois e ).
Passo 2
Estratégia algébrica inicial (substituição útil):
defina
defina
Então, quando
temos
. Reescrevendo a fração:
Agora vamos manipular essa expressão de modo a usar o limite clássico
. Para isso escrevemos
desde que
(isso vale para
próximo de
,
). Vamos calcular os dois fatores separadamente.
Passo 3
Calcular
:
Como
, temos
Esse limite é simples: divide-se termo a termo e observa-se que
tende a
.
Passo 4
Calcular
(aqui uma explicação didática desse limite clássico).
Fato clássico a usar:
. Justificativa via desigualdades (teorema do sanduíche / squeeze):
Para
vale geometricamente (ou por identidades trigonométricas) a cadeia de desigualdades
Dividindo por
obtemos
Invertendo (os termos são positivos) dá
Como
, pelo teorema do sanduíche segue
Para
usa-se que a função
é par, ou aplica-se a mesma argumentação com
, concluindo o mesmo. Portanto
Passo 5
Combinar os limites: como ambos os limites existem finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim
Passo 6
Resumo curto e incentivo: o truque é notar que
e separar
em
. O primeiro fator vai para
pelo limite trigonométrico clássico; o segundo vai para
por álgebra simples. Resultado final bem tranquilo — força aí na prova, esse tipo de manipulação aparece muito!