Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+x\right)}{x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x\bigr)}{x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável tende para \,x\to 0.
  • O numerador é \operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x\bigr).
  • O denominador é x.
  • Note que a expressão dentro do seno é x^{2}+x, que também tende a 0 quando x\to 0 (pois x^{2}\to0 e x\to0).

Passo 2

Estratégia algébrica inicial (substituição útil):
defina
u=x^{2}+x.
Então, quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevendo a fração:
\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x\bigr)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{x}.
Agora vamos manipular essa expressão de modo a usar o limite clássico \lim_{t\to0}\dfrac{\operatorname{sen}t}{t}=1. Para isso escrevemos
\frac{\operatorname{sen}(u)}{x}=\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{u}{x},
desde que u\neq 0 (isso vale para x próximo de 0, x\neq0). Vamos calcular os dois fatores separadamente.

Passo 3

Calcular \dfrac{u}{x}:
\frac{u}{x}=\frac{x^{2}+x}{x}=x+1.
Como x\to 0, temos
\lim_{x\to 0}\frac{u}{x}=\lim_{x\to 0}(x+1)=1.
Esse limite é simples: divide-se termo a termo e observa-se que x tende a 0.

Passo 4

Calcular \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u} (aqui uma explicação didática desse limite clássico).
Fato clássico a usar: \displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1. Justificativa via desigualdades (teorema do sanduíche / squeeze):
Para 0<t<\tfrac{\pi}{2} vale geometricamente (ou por identidades trigonométricas) a cadeia de desigualdades
\operatorname{sen}t < t < \operatorname{tg}t.
Dividindo por \operatorname{sen}t>0 obtemos
1 < \frac{t}{\operatorname{sen}t} < \frac{1}{\cos t}.
Invertendo (os termos são positivos) dá
\cos t < \frac{\operatorname{sen}t}{t} < 1.
Como \lim_{t\to 0}\cos t =1, pelo teorema do sanduíche segue
\lim_{t\to 0}\frac{\operatorname{sen}t}{t}=1.
Para t<0 usa-se que a função t\mapsto\frac{\operatorname{sen}t}{t} é par, ou aplica-se a mesma argumentação com |t|, concluindo o mesmo. Portanto
\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}=1.

Passo 5

Combinar os limites: como ambos os limites existem finitos, o limite do produto é o produto dos limites. Assim
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+x\bigr)}{x} =\lim_{x\to 0}\left(\frac{\operatorname{sen}(u)}{u}\cdot\frac{u}{x}\right) =\left(\lim_{u\to 0}\frac{\operatorname{sen}u}{u}\right)\cdot\left(\lim_{x\to 0}\frac{u}{x}\right) =1\cdot 1=1.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: o truque é notar que u=x^{2}+x\to0 e separar \dfrac{\operatorname{sen}u}{x} em \dfrac{\operatorname{sen}u}{u}\cdot\dfrac{u}{x}. O primeiro fator vai para 1 pelo limite trigonométrico clássico; o segundo vai para 1 por álgebra simples. Resultado final bem tranquilo — força aí na prova, esse tipo de manipulação aparece muito!

Resposta

1

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