Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 1} \ln \left(x^{3}+2 x-3\right)=

Passo 1

O que o problema pede e o que nos dão:
  • Pede-se calcular \displaystyle \lim_{x\to 1} \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr).
  • Informação importante: a função logaritmo natural \ln(t) só está definida para t>0. Ou seja, o argumento x^{3}+2x-3 precisa ser positivo para que a expressão esteja definida em valores reais.
  • Vamos precisar verificar como o polinômio x^{3}+2x-3 se comporta quando x se aproxima de 1 (se tende a zero por cima, por baixo, muda de sinal, etc.).

Passo 2

Avaliar o argumento no ponto x=1.
  • Calcular o valor em x=1:
1^{3}+2\cdot1-3 = 1+2-3 = 0.
  • Conclusão: ao aproximar x de 1, o argumento do logaritmo tende a 0. Como \ln não está definida em 0, precisamos ver de que lado (positivo ou negativo) o argumento se aproxima de 0.

Passo 3

Fatorar o polinômio para analisar o sinal perto de x=1.
  • Como x=1 é raiz, dividimos x^{3}+2x-3 por (x-1). Fazendo a divisão (ou uso de regra de Ruffini), obtém-se:
x^{3}+2x-3 = (x-1)\bigl(x^{2}+x+3\bigr).
  • Verificação rápida: multiplicando (x-1)(x^{2}+x+3) volta-se ao polinômio original.

Passo 4

Estudar o sinal de cada fator perto de x=1.
  • O fator (x-1) muda de sinal em x=1: é negativo para x<1 e positivo para x>1.
  • O fator x^{2}+x+3 é um quadrático com coeficiente principal positivo. Calcular o discriminante \Delta:
\Delta = 1^{2}-4\cdot1\cdot3 = 1-12 = -11 < 0.
  • Como \Delta<0 e o coeficiente de x^{2} é positivo, o quadrático x^{2}+x+3 é sempre estritamente positivo para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Concluir o sinal do produto e implicações para o logaritmo.
  • Para x próximo de 1:
    • Se x>1 então (x-1)>0 e x^{2}+x+3>0, logo x^{3}+2x-3>0.
    • Se x<1 então (x-1)<0 e x^{2}+x+3>0, logo x^{3}+2x-3<0.
  • Portanto, ao aproximar x por valores maiores que 1 o argumento tende a 0 por valores positivos; ao aproximar por valores menores que 1 o argumento é negativo (logo o \ln não é real).

Passo 6

Usar o comportamento do \ln perto de zero para obter os limites unilaterais.
  • Lembrete (fórmula/ideia): para t>0 vale
\lim_{t\to 0^{+}} \ln(t) = -\infty.
Isto é, quando o argumento do logaritmo tende para zero vindo de valores positivos, o logaritmo tende para menos infinito.
  • Para o nosso caso:
    • Para x\to 1^{+}: x^{3}+2x-3 \to 0^{+}. Logo
    \lim_{x\to 1^{+}} \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr) = -\infty.
    • Para x\to 1^{-}: x^{3}+2x-3 <0 (próximo de 1), então \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr) não está definido em números reais; portanto o limite pela esquerda não existe no conjunto dos números reais.

Passo 7

Conclusão sobre o limite bilateral pedido.
  • Para que exista \displaystyle \lim_{x\to 1} \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr) (limite bilateral), é necessário que os limites pela direita e pela esquerda existam e coincidam.
  • Aqui: limite pela direita é -\infty; limite pela esquerda não existe (a expressão não é real). Portanto o limite bilateral não existe como número real nem como infinito.

Resposta

O limite bilateral não existe.
\displaystyle \lim_{x\to 1^{+}} \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr) = -\infty
\displaystyle \lim_{x\to 1^{-}} \ln\!\bigl(x^{3}+2x-3\bigr) não existe (argumento negativo, \ln não é real).

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