Calcule os limites.
Passo 1
O que o problema pede e o que nos dão:
- Pede-se calcular
. - Informação importante: a função logaritmo natural
só está definida para . Ou seja, o argumento precisa ser positivo para que a expressão esteja definida em valores reais. - Vamos precisar verificar como o polinômio
se comporta quando se aproxima de (se tende a zero por cima, por baixo, muda de sinal, etc.).
Passo 2
Avaliar o argumento no ponto
.
- Calcular o valor em
:
- Conclusão: ao aproximar
de , o argumento do logaritmo tende a . Como não está definida em , precisamos ver de que lado (positivo ou negativo) o argumento se aproxima de .
Passo 3
Fatorar o polinômio para analisar o sinal perto de
.
- Como
é raiz, dividimos por . Fazendo a divisão (ou uso de regra de Ruffini), obtém-se:
- Verificação rápida: multiplicando
volta-se ao polinômio original.
Passo 4
Estudar o sinal de cada fator perto de
.
- O fator
muda de sinal em : é negativo para e positivo para . - O fator
é um quadrático com coeficiente principal positivo. Calcular o discriminante :
- Como
e o coeficiente de é positivo, o quadrático é sempre estritamente positivo para todo .
Passo 5
Concluir o sinal do produto e implicações para o logaritmo.
- Para
próximo de : - Se
então e , logo . - Se
então e , logo .
- Se
- Portanto, ao aproximar
por valores maiores que o argumento tende a por valores positivos; ao aproximar por valores menores que o argumento é negativo (logo o não é real).
Passo 6
Usar o comportamento do
perto de zero para obter os limites unilaterais.
- Lembrete (fórmula/ideia): para
vale
Isto é, quando o argumento do logaritmo tende para zero vindo de valores positivos, o logaritmo tende para menos infinito.
- Para o nosso caso:
- Para
: . Logo
- Para
: (próximo de ), então não está definido em números reais; portanto o limite pela esquerda não existe no conjunto dos números reais.
- Para
Passo 7
Conclusão sobre o limite bilateral pedido.
- Para que exista
(limite bilateral), é necessário que os limites pela direita e pela esquerda existam e coincidam. - Aqui: limite pela direita é
; limite pela esquerda não existe (a expressão não é real). Portanto o limite bilateral não existe como número real nem como infinito.
Resposta
O limite bilateral não existe.
não existe (argumento negativo,
não é real).