Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 2} \sqrt{3 x^{2}-4 x+1}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 2} \sqrt{3x^{2}-4x+1}.
Informações dadas: a função dentro do limite é a composição da raiz quadrada com o polinômio x\mapsto 3x^{2}-4x+1. O ponto de interesse é x=2. Não há outras condições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vamos avaliar o polinômio no ponto x=2. Isso ajuda a ver o comportamento do radicando quando x se aproxima de 2. Calculamos:
3\cdot(2)^{2}-4\cdot(2)+1 = 3\cdot4 -8 +1 = 12-8+1 = 5.
Portanto o radicando tende a 5 em x=2.

Passo 3

Verificar que a raiz quadrada está bem definida perto de x=2. Como o valor do radicando em x=2 é 5>0, e o polinômio 3x^{2}-4x+1 é uma função contínua, ele toma valores próximos de 5 quando x é próximo de 2. Isso significa que existe um intervalo em torno de x=2 onde 3x^{2}-4x+1>0, então a função \sqrt{3x^{2}-4x+1} está bem definida naquela vizinhança.
Explicando de forma simples: polinômios variam de maneira suave; se em um ponto eles valem 5, ao aproximar x desse ponto o valor do polinômio fica perto de 5 e, portanto, positivo.

Passo 4

Usar a propriedade de continuidade: a função polinomial h(x)=3x^{2}-4x+1 é contínua em x=2, e a função raiz quadrada f(t)=\sqrt{t} é contínua para t>0. Como h(2)=5>0, a composição f\circ h é contínua em x=2. Para funções contínuas a operação de limite passa para dentro da composição, ou seja:
\lim_{x\to 2} \sqrt{3x^{2}-4x+1} = \sqrt{\lim_{x\to 2} (3x^{2}-4x+1)}.

Passo 5

Já calculamos \lim_{x\to 2} (3x^{2}-4x+1)=5. Aplicando a raiz quadrada:
\sqrt{\lim_{x\to 2} (3x^{2}-4x+1)} = \sqrt{5}.

Passo 6

Conclusão final e uma palavra de incentivo: o limite é simplesmente a raiz de 5. Boa! Essa é uma técnica muito útil na prova: quando a parte interna tem limite e a função externa é contínua no valor obtido, dá para substituir direto.

Resposta

\sqrt{5}

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