Calcule os limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \sqrt[3]{\operatorname{sen} 2 x}=

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} \sqrt[3]{\operatorname{sen}2x}.
Informações dadas:
  • A expressão é a raiz cúbica de \operatorname{sen}2x (vou usar \sin no lugar de \operatorname{sen} na notação matemática).
  • Queremos o comportamento quando x tende a 0.

Passo 2

Defino a função que aplica a raiz cúbica:
g(y)=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}.
Vou mostrar que g é contínua em y=0. Isso significa que, se y\to 0, então g(y)\to g(0)=0.
Prova rápida da continuidade em 0 (estilo \varepsilon- \delta, mas intuitiva): para todo \varepsilon>0, se |y|<\varepsilon^{3} então
|g(y)-g(0)|=|y^{1/3}-0|=|y|^{1/3}<(\varepsilon^{3})^{1/3}=\varepsilon.
Logo basta escolher \delta=\varepsilon^{3} e a continuidade está demonstrada. Intuitivamente, a operação de tomar a raiz cúbica é uma função monótona e suave que não “quebra” limites.

Passo 3

Mostro que \sin 2x \to 0 quando x\to 0. Use a desigualdade conhecida
|\sin u|\le |u|\quad\text{para todo }u\in\mathbb{R}.
Tomando u=2x obtemos
|\sin 2x|\le |2x|.
Como 2x\to 0 quando x\to 0, pela desigualdade acima segue que \sin 2x\to 0.

Passo 4

Agora aplico a propriedade de composição de limites com função contínua: se f(x)\to L e g é contínua em L, então g(f(x))\to g(L).
Aqui f(x)=\sin 2x satisfaz f(x)\to 0 (Passo 3) e g(y)=y^{1/3} é contínua em 0 (Passo 2). Portanto
\lim_{x\to 0} g(f(x))=\;g\!\big(\lim_{x\to 0} f(x)\big)=g(0)=0.

Passo 5

Comentário prático (cheque rápido): usando a equivalência \sin 2x\sim 2x quando x\to 0, tem-se \sqrt[3]{\sin 2x}\sim\sqrt[3]{2x}, que também tende a 0. Isto confirma o resultado anterior.

Resposta

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