Calcule os limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a raiz cúbica de
(vou usar no lugar de na notação matemática). - Queremos o comportamento quando
tende a .
Passo 2
Defino a função que aplica a raiz cúbica:
Vou mostrar que
é contínua em
. Isso significa que, se
, então
.
Prova rápida da continuidade em
(estilo
-
, mas intuitiva): para todo
, se
então
Logo basta escolher
e a continuidade está demonstrada. Intuitivamente, a operação de tomar a raiz cúbica é uma função monótona e suave que não “quebra” limites.
Passo 3
Mostro que
quando
. Use a desigualdade conhecida
Tomando
obtemos
Como
quando
, pela desigualdade acima segue que
.
Passo 4
Agora aplico a propriedade de composição de limites com função contínua: se
e
é contínua em
, então
.
Aqui
satisfaz
(Passo 3) e
é contínua em
(Passo 2). Portanto
Passo 5
Comentário prático (cheque rápido): usando a equivalência
quando
, tem-se
, que também tende a
. Isto confirma o resultado anterior.