Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\operatorname{sen} \sqrt{x-1}}{\sqrt{x^{2}-1}};

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1^{+}}\frac{\operatorname{sen}\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}.
O conteúdo é cálculo de limite de forma 0/0. Vamos usar a substituição h=x-1 para transformar em uma forma que permita aplicar a equivalência \operatorname{sen} u\sim u quando u\to0.

Passo 2

Fazendo h=x-1, temos h\to0^{+} quando x\to1^{+}. Então
\operatorname{sen}\sqrt{x-1}=\operatorname{sen}\sqrt{h}.

Passo 3

Também em função de h,
x^{2}-1=(1+h)^{2}-1=1+2h+h^{2}-1=2h+h^{2},
portanto
\sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2h+h^{2}}=\sqrt{h}\,\sqrt{2+h}.

Passo 4

Substituindo no quociente original, obtemos
\frac{\operatorname{sen}\sqrt{x-1}}{\sqrt{x^{2}-1}} =\frac{\operatorname{sen}\sqrt{h}}{\sqrt{h}\,\sqrt{2+h}} =\biggl(\frac{\operatorname{sen}\sqrt{h}}{\sqrt{h}}\biggr)\frac{1}{\sqrt{2+h}}.

Passo 5

Quando h\to0^{+}, temos \sqrt{h}\to0 e vale a equivalência
\frac{\operatorname{sen}\sqrt{h}}{\sqrt{h}}\to1.
Além disso \sqrt{2+h}\to\sqrt{2}. Logo o limite fica
1\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}

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