Determine a derivada da função dada:
f(x)=\sqrt{\arctan x}-(\operatorname{arcsen} x)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{\arctan x} - (\arcsin x)^{3}.
O conteúdo principal é a regra da cadeia aplicada a funções compostas e a diferença de duas funções. Vamos usar:
  1. Derivada de \sqrt{u} é \tfrac{1}{2\sqrt{u}}\,u'.
  2. Derivada de \arctan x é \tfrac{1}{1+x^{2}}.
  3. Derivada de v^{3} é 3v^{2}\,v'.
  4. Derivada de \arcsin x é \tfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 2

Derivando o primeiro termo \sqrt{\arctan x}, tome u=\arctan x e y=\sqrt{u}. Então
\frac{dy}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx} =\frac{1}{2\sqrt{\arctan x}}\cdot\frac{1}{1+x^{2}} =\frac{1}{2(1+x^{2})\sqrt{\arctan x}}.

Passo 3

Derivando o segundo termo (\arcsin x)^{3}, tome v=\arcsin x e w=v^{3}. Então
\frac{dw}{dx} =3v^{2}\,\frac{dv}{dx} =3(\arcsin x)^{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} =\frac{3(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Passo 4

Como f(x)=\sqrt{\arctan x} - (\arcsin x)^{3}, aplicamos a diferença de derivadas:
f'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(\sqrt{\arctan x}\bigr) -\frac{d}{dx}\bigl((\arcsin x)^{3}\bigr) =\frac{1}{2(1+x^{2})\sqrt{\arctan x}} -\frac{3(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

Resposta

f'(x) =\frac{1}{2(1+x^{2})\sqrt{\arctan x}} -\frac{3(\arcsin x)^{2}}{\sqrt{1-x^{2}}}.

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