Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(3 x) \operatorname{sen}(5 x)}{\left(x-x^{3}\right)^{2}};

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{\operatorname{sen}(3x)\,\operatorname{sen}(5x)}{(x - x^3)^2}.
O que vamos usar é a expansão de Taylor das funções \operatorname{sen}(kx) até termos em x^3, e a expansão do denominador até termos em x^2, para depois formar o quociente e ler o termo constante.

Passo 2

Expandimos em série as funções trigonométricas em torno de x=0:
\operatorname{sen}(3x)=3x - \frac{(3x)^3}{6} + O(x^5) =3x - \frac{27}{6}\,x^3 + O(x^5),
\operatorname{sen}(5x)=5x - \frac{(5x)^3}{6} + O(x^5) =5x - \frac{125}{6}\,x^3 + O(x^5).

Passo 3

Calculamos o produto até ordem x^4:
\operatorname{sen}(3x)\,\operatorname{sen}(5x) =(3x)\,(5x) - (3x)\,\frac{125}{6}x^3 - (5x)\,\frac{27}{6}x^3 +O(x^6).
Isso dá
15x^2 \;-\;\Bigl(\frac{375}{6}+\frac{135}{6}\Bigr)x^4 +O(x^6) =15x^2 - 85x^4 + O(x^6).

Passo 4

Agora expandimos o denominador:
(x - x^3)^2 =x^2\,(1 - x^2)^2 =x^2\,(1 - 2x^2 + x^4) =x^2 - 2x^4 + O(x^6).

Passo 5

Formamos o quociente das séries:
\frac{\operatorname{sen}(3x)\,\operatorname{sen}(5x)}{(x - x^3)^2} =\frac{15x^2 - 85x^4 + O(x^6)}{x^2 - 2x^4 + O(x^6)} = \frac{15x^2\bigl(1 - \tfrac{85}{15}x^2 +O(x^4)\bigr)}{x^2\bigl(1 - 2x^2 +O(x^4)\bigr)}.
Cancelando x^2 e usando
\frac{1 + a x^2 + \cdots}{1 + b x^2 + \cdots} =1 + (a - b)x^2 + \cdots,
vemos que o termo constante é 15. Logo o limite é 15.

Resposta

15

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